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quindi, dopo avere trovato con la (11) lo sviluppo di e - "*, potremo formare 

 quello del primo membro ed in seguito quello di xe~ x . Troviamo così 



x e' 



» p i i 

 = \ (_ i -J — + _i 



' L 1 (i-«)(i-«v 



, i ~] «»(g) 



" (1 — a) .... (1 — «""OJ nì - ' 



Per m == 2 , abbiamo 



race 



= 2 se-'ds; 



ree 



conoscendo già lo sviluppo di xe~ K , possiamo formare quello di I se~ s ds, 

 se~ s ds e perciò quello di x 2 e~ x ; troviamo così 







»■ <--* it- ir [■ - 1 + ;f5g + (1 _:hi 8 - »■) +■- 



, ___ __1 ~] M^) 



h (1 — a) .... (1— a~- J )J rc! ' 



Facilmente si trova in generale 



x m e~ 



v \_\m — 1 / \m— 2/1— a 



/ » — 3\ 1 / W — 1 \ 1 ~| u„(x) 



■ \m— 1/(1— «)(1— « 2 ) ^Im— 1/(1 -a)... (1 -«**-"<) J ' 



9. Abbiamo trovato lo sviluppo di x e~ x con un metodo particolare. Ora 

 esporremo un metodo che permette di trovare lo sviluppo di xf(x) quando 

 è noto quello di f{x). Ci occorre a questo scopo lo sviluppo di xu„(x). 

 Questa funzione si annulla per x = insieme con le sue prime n derivate: 

 quindi il suo sviluppo comincia col termine in u n+1 ed il primo coefficiente 

 è l'unità, come facilmente si vede. Il coefficiente a n +i, di si calcola 

 nel seguente modo: 



Si ha 



rax 



g \_X '«„(#)] = ce x u n {a x) -f- ) S u n (s) ds = 



o 



, . axu n+l {ax) 1 ( ax , , , 

 == a x U n {a x) -\- ~i 1 r — M n+1 S)dS, 



e, per la (10), 



Si- I \~\ u + l ( \ Wn+t{ a 



\_x u n \x )j — a x u n {x) ^ w _|_ j ^ w _|_ 2) ' 



Al primo membro il coefficiente di è a n+s , nella prima parte 



del secondo membro è a n+ì a n +),, nella seconda parte è — ( — l) h ni -. — . : ; 



[n -f- fc) . 



