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sarà dunque 



a»+* a n +* = a* 4 - 1 a n+h — (— 1 f {n + k y an+h • 



Da questa ricaviamo e troviamo 



x u n (x) = u n+1 (x) + n ! >_ (— 1) ft t _ ■ — - j . 



10. Servendoci di questa formola, avremmo potuto trovare lo sviluppo 

 di xe~ a , ma i coefficienti si sarebbero presentati in forma meno semplice 

 di quella ottenuta al numero precedente. 



La stessa osservazione si può fare relativamente allo sviluppo di x ì u n (x). 

 Invece di ottenerlo da quello di x u n (x) moltiplicandolo per x , procederemo 

 nel seguente modo: 



Abbiamo 



2 C ax 



S [V u n {x)~] = a n+ì x 2 u n (x) -— s u n+1 (s) ds . 



u -j- i j 



Chiamando a n +h il coefficiente di u n+ .> l nello sviluppo di x* u n (x), si ha 

 a n+i = 1 , ed a n+k = per k < 2 . 



Per k > 3 il coefficiente di w n+s nel primo membro dell'ultima egua- 

 glianza è a""*"* , nella prima parte del secondo membro è a n+2 a n + k , e 

 facilmente si calcola il coefficiente analogo nella seconda parte del secondo 

 membro. Infatti si ha 



x n n+A x) = u n+t (x) + (» + 1) ! Ì (- 1 )» ] • ^7^^, 



e perciò 



• p . _ ^ + ( . + 1) . y ( - 1)» . 



J » + 3 7t — i 1 — ce" 3 (n -f- le) ! 



sw TC+1 (s)ds il coefficiente di u n +),{x) è 



<-»> kr^ a "*(rr^+r^ + " + T^-"- 3 )- 



Possiamo così calcolare a n ^ e troviamo 



— a* -2 



a; l M n (a:) = M n+s (a;) + 2%! > (— \f — - X 



£=3 1 — « s 



Rendiconti. 1921, Voi. XXX 2° Sem. 53 



