Indichiamo con r l'insieme [a cui appartiene l'estremale y = y*{x)~\ 

 delle curve y — y(x), contenute in D, per le quali le funzioni y(x) sono 

 finite e continue con le loro derivate prime nell'intervallo , x 2 ) e verifi- 

 cano le condizioni 



(1) y(:r l ) = y l , y(x t ) — y 2 . 



Per il più semplice problema del calcolo delle variazioni si ha allora 

 la seguente condizione di Jacobi : 



Condizione necessaria perchè l'estremale y = //^(x) fornisca, nel 

 campo r, un estremo per l'integrale J(y) è che una soluzione, nulla in x x , 

 dell'equazione differenziale del second 'ordine nella u: 



d du\ . . 



si mantenga sempre diversa da zero nell'interno di (xi,x t \. 



La necessità di tale condizione viene dimostrata facendo vedere che, 

 ove essa non si verifichi, è possibile, in un intorno comunque piccolo del- 

 l'estremale ,y = ?/ (''), costruire curve y = y(x) dell'insieme r perle quali 

 è J(y) > 3(y ) e curve per le quali è J(y) < J(// ) . Nelle costruzioni date 

 finora, almeno per quanto io so, si son sempre dapprima ottenute curve 

 y = y(x), per le quali la funzione y(x) è continua e verifica le (1), ma 

 ha però una derivata discontinua in uno o due punti di (a;, , x s ). 



Parmi che abbia interesse il notare, come appunto mi permetto di 

 fare con la Nota presente, una costruzione delle curve y = y(x) , ora indi- 

 cate, con la quale si ottengono assai semplicemente e direttamente curve 

 di r, anzi parecchie famiglie di curve di r per le quali le funzioni y(x) 

 sono in {xi , x 2 ) finite e continue con le loro derivale dei primi due 

 ordini. La costruzione è contenuta, si può dire, in un teorema della mia 

 Tesi d'abilitazione: Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende 

 un'equazione differenziale lineare ordinaria del second' ordine 



Di ben maggiore interesse è poi il fatto che. considerando le cose dal 

 punto di vista della Nota presente, si arriva, come farò vedere in una Nota 

 futura, ad un'elegante nuova condizione necessaria per un estremo dell'in- 

 tegrale doppio 



1. Per fissare le idee riterremo che, in (x t , .'' 2 ), sia sempre R(?) > 0. 

 Supponiamo che non sia verificata la condizione di Jacobi, supponiamo cioè 

 che esista un integrale u della (2) nullo in x x e, ulteriormente, in un 

 punto x[ interno all'intervallo (x lt x t ). Non potrà allora, com'è ben noto, 



(*) Annali della U. Scuola Normale Superiore di Pisa, voi. XI. 



