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essere sempre, in (xi,x t ), A(,r)<0, dovrà cioè A(./) prendere in (Xi,x t ) 

 anche valori positivi ( 1 ). 



Ciò posto, consideriamo l'equazione differenziale del second'ordine 



contenente il parametro X . Indichiamo con u(x x , X) quell'integrale di que- 

 st'equazione verificante le condizioni iniziali u(x x , X) == , u'(x x ,X) = 1. 

 In virtù dei risultati ottenuti alle pagine 31 e 82 della citata mia tesi d'abi- 

 litazione, poiché la funzione A(x) prende in (x x , x t ) anche valori positivi, 

 possiamo affermare che: 



Esiste una successione, sempre crescente e crescente all'infinitOj di 

 valori positivi X a , X x , X t , ... per ciascuno dei quali si ha u(x 2 , X n ) == . 

 Posto u(x , X n ) = u n ( r) , »==0,1.2,..., questa funzione u„(x) , che è, 

 per X = X n , la soluzione della (3) verificante le condizioni iniziali u n (x x ) = 0, 

 u' n ( x i) — !» s i annulla in x x e in x 2 e, ulteriormente, in n punti distinti 

 nell'interno dell'intervallo (Xi,x t ). Infine, la u(x,X), per i valori di X 

 verificanti la limitazione < X < X„ , non ha, oltre lo zero x x , alcun 

 altro punto di zero in (x, , x s ) , per i valori di X verificanti la limita- 

 zione X n <^X<^ X n+X , ha, oltre lo zero x x , n-\- \ zeri distinti nell'in- 

 terno di (x 1 ,x ì ), ed è diversa da zero in x<i. 



Pertanto, se, viceversa, per un valore speciale positivo X del parametro A, 

 la soluzione u[x^X) ha, oltre lo zero x x , n-\- \ zeri distinti (» = 0,1 ,2,...), 

 nell'interno di (x x ,x 2 ), dovrà risultare X^>X n . 



Notiamo altresì che dall'identità 



u n ^- + X„ A ul = , 



integrando sull'intervallo (x x ,x 2 ), si ottiene 



(4) Jj 2 u(~-)j 2 dx — X n j* 2 ku?.dx = Q (n — , 1 , 2 -, ...), 

 e quindi, poiché X n ^>Q, 



(5) f X2 Au*dx>0 (w = 0, 1 ,2 ,...). 



Jx x 



du 



(*) Ed infatti la funzione t> = Kw— è nulla in x x e in x\, mentre se fosse feni- 

 cia: 



pre A(a?)<-0 in (x 1 ,x i ), la v sarebbe non decrescente in (x 1 ,x 2 ), poiehè 



