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2. Dal teorema ora enunciato andiamo immediatamente a dedurre la 

 necessità della condizione di Jacobi. Sia ì](.r) una qualunque funzione finita 

 e continua, in {x x , x t ), con la sua derivata prima, e sia n(.ri) = 17 (x 2 ) = 0, 

 si può sempre determinare un numero positivo £-„ tale che, per 

 la curva y = y (x) -\-srj(x) appartenga all'insieme f e di più la differenza 

 JÙ/o-f - ^) — J#o) abbia il segno di 



i>(£)^-i>h- 



Indichiamo con Q, t ciò che diviene il numero q y , quando si faccia 

 rj = u n (x). Per |e|<C?»< la curva y — y„(x) -f- s u n (x) appartiene all'in- 

 sieme r e la differenza J(j/ + f *O — J(j/o) ha il segno di 



«-[ir»(^)*-Xv*]- 



Supposta non soddisfatta la condizione di Jacobi, poiché allora esiste un 

 integrale della (2) nullo in x } e, ulteriormente, in un punto x[ interno al- 

 l'intervallo {x l , f 2 ) : riuscirà u(x l , 1) = u{:t[ , 1) = e dovrà perciò essere, 

 in virtù del teorema enunciato al n. precedente, 1 > A . Sia, per fissare le 

 idee, si avrà allora, in forza delle (4) e (5), 



f" a OV h - f* a »s * { < ? • i» r « - ^ ; 2 • - • ;~ 1 • 



Jx 1 \ dx 1 Jx 1 ( > , per » = i>-|-.l,r-J-2 



e quindi 



T . . T . . . ( < , per n = , 1 , 2 , ... v — 1 , 



J(* + J(y.), per |«|<<>», , >0 per , = r + x , v + 2 



la curva y = y { i: ) non potrà dunque fornire un estremo per l'integrale J(y). 

 Troviamo le v famiglie di curve di T: 



y = y (a) + f «»»(#) , |«|< , n — , 1 , ..; , v — 1 , 



continue, dotate in ogni punto di tangente e di curvatura determinate, va- 

 riabili con continuità, per lo quali curve la variazione dell'integrale J(?/)> 

 relativa al passaggio dalla curva estremale y = y (x) ad una qualsiasi di 

 esse, ha sempre segno contrario a quello di R(#) in , a t ). La curva 

 y — tjo(x) + su n {x) attraversa l'estremale y = y (x\ in n punti distinti in- 

 terni all'arco (Pi , P 2 ) dell'estremale. 



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