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MEMORIE E NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matemàtica. — Sulla teoria generale delle corrispondenze 

 frazionali dello spazio. Nota III di D. Montesano, presentata 

 dal Socio R. Marcolongo. 



In una corrispondenza birazionale K fra i punti di due spazi S , S', le 

 linee fondamentali ordinarie sono le linee basi dei due sistemi oraaloidici 

 di superficie 2 , 3' collegati alla corrispondenza ; i punti fondamentali or- 

 dinari sono i punti comuni alle curve collegate alla corrispondenza, alle 

 curve cioè basi variabili dei fasci dei sistemi 2 , 3' rispettivamente. 



Una curva fondamentale è di l a o di 2 a specie secondochè nello spazio 

 a cui appartiene è o no incontrata fuori del gruppo dei punti fondamentali 

 dalle curve collegate alla corrispondenza. 



Ora nella presente Nota io dimostro il teorema che : In una corrispon- 

 denza birazionale K fra i punti di due spazi ordinari S , S', ad ogni curva 

 fondamentale o dì 2 a specie dello spasio S si associa una curva fonda- 

 mentale o' di 2 a specie dello spazio S' in modo che ad ogni linea r che 

 si appoggi alla curva o in un punto generico P corrisponde nella K una 

 linea r che si appoggia alla curva o' in un punto P' omologo del punto P 

 nella corrispondenza che la K determina fra i punti delle due linee omo- 

 loghe r , r'. Se la curva o è di ordine v e la curva o' è di ordine v', gli 

 ordini di multiplicità della curva o per le superficie del sistema 2 e 

 della curva o' per le superfìcie del sistema 3' si ottengono moltiplicando 

 i numeri v\v per un medesimo numero intero k. 



Cremona ritenne che il numero k fosse sempre eguale ad 1 ('), mentre 

 tale numero può avere un valore arbitrario ( 2 ). 



Per dimostrare il teorema enunciato occorrono le seguenti considerazioni: 



Le superfìcie del sistema 2 abbiano in comune una curva o , lungo la 

 quale non si tocchino. Fissati ad arbitrio un punto generico P sulla o ed 

 un piano generico % nel fascio che ha per asse la tangente t nel punto P 

 alla curva, restano determinati nello spazio S una rete A costituita dalle 



( J ) Cremona, Sulle trasformazioni razionali dello spazio, n°. 7. Opere, tomo 3°, 

 pag. 302. 



( 2 ) Cfr. le due prime mie Note Sulla teoria generale ielle corrispondenze Irrazio- 

 nali dello spazio (Rend. di quest'Accademia, voi. XXVII, serie 5 a , 1918) e la Nota: 

 Principio di estensione nella teoria delle corrispondenze birazionali dello spazio (Rendi 

 Accademia Scienze Napoli, voi. XXVII, 1921). 



