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superficie del sistema 2 che sono tangenti al piano t nel punto P, e nello 

 spazio S' un punto L' centro della stella di piani che nella K corrisponde 

 alla rete A. 



Col variare del piano t attorno alla retta t, il punto L' descrive una 

 curva razionale p' . Ora due casi possono darsi : 



1° caso. Variando il punto P sulla curva o, la curva p' varia 

 descrivendo una superficie di ordine x . 



In tale caso è agevole riconoscere che ogni curva generica collegata 

 alla corrispondenza nello spazio S si appoggia alla curva o in x' punti non 

 fondamentali e che perciò la o è linea fondamentale di l a specie. 



2° caso. Variando il punto P sulla curva o, la curva p' coincide 

 in ogni sua posizione con una curva fissa o'. 



In tale caso accadrà necessariamente che ad una stella di piani A' dello 

 spazio S', avente il centro in un punto generico V della curva o . corrispon- 

 derà nel sistema 2 una rete A formata da superfìcie che in ogni punto ge- 

 nerico P della curva o risulteranno tutte tangenti a k piaui r h del 



fascio che ha per asse la tangente l nel punto P alla o ; e propriamente ac- 

 cadrà che, tenendo fisso il punto P sulla o e facendo variare il punto P' 

 sulla o', il gruppo di piani r, , ... , t h descriverà una involuzione J P di grado k 

 nel fascio (t) , per k > 1 . 



Ne segue che un fascio generico *P della rete A differisce da un fa- 

 scio <P del sistema 2 , che non presenti alcuna particolarità, soltanto in questo : 

 che, mentre due superficie generiche del fascio <P non hanno alcun contatto 

 in un punto generico della curva comune o , accade invece per due superfìcie 

 generiche del fascio *P che k falde dell'una superficie toccano rispettivamente 

 /.• falde dell'altra lungo la o ; e però, se la linea base variabile del fascio <P 

 è di ordine la linea base variabile del fascio *P risulta di ordine ri — kv , 

 se la curva o è di ordine r . 



Corrispondentemente, mentre una retta dello spazio S', che non presenti 

 alcuna particolarità, incontra una superficie generica del sistema 5' in ri 

 punti, accade invece che nella stella (P'), che ha il centro in un punto ge- 

 nerico della curva o' , una retta generica incontra l'anzidetta superficie sol- 

 tanto in ri — kv punti diversi da P'. 



Ciò prova che la o' è linea fondamentale della corrispondenza e che 

 l'ordine di multiplicità della curva per le superficie del sistema M' è [i' = lcv. 



D'altra parte i piani tangenti in un punto generico P della curva o 

 ad una superficie generica del sistema 2 sono tutti e soli i piani dei gruppi 

 della involuzione J P dovuti alle reti A del sistema - omologhe delle stelle 

 di piani che hanno i centri nei punti di sezione della curva o col piano 

 omologo di quella superficie; e però il numero di tali piani è kv' , se v' è 

 l'ordine della curva o'. 



