Per m = 1 si ritrova lo sviluppo di u (ax) . 



Per h = ~ si trova 



rnn±iy_„ m _„*-!). ..(l_„m- n *l) 



( * m ) - «•(*) + |. - (1 _ a) (1 _ a >) ... (1 _ „-) n | 



e da questa, cambiando ce in a m a;, ricaviamo 



»(>ì-t-D 



- -nm 



(16) w (a;) = Mo(« m ^) + X « a x 



n=l 



(1 — a m ) (1 — a m ~ l ) ... (1 — a m ~ n + l ) u n {cc m x) 



X 



(1 — a) (1 — a*) ... (1 — «") 



Per un n fisso, il termine di posto n -f- 1 del secondo membro della 



n(K-t-l) 



precedente eguaglianza al tendere di m ad <x> tende ad — - : ■ — -, , 



. ° (1 — «) ... (1 — a") w! 



che è il termine di posto n -j- 1 nello sviluppo di w (,a;) in serie di potenze 

 di x. 



Dalla (15) otteniamo poi in generale lo sviluppo di u h (hx): 



(17) u H (hx) = h» kl\~^^ + V (— X 



(1 — fe) (1 — A«) ... (1 — A»"- 1 ) p «^(as) "] 

 (1 — a) (1 — ««)... (1— a") '(» + *)□' 



e si possono ripetere relativamente alla u k (hx) le considerazioni fatte per 

 la u 9 (hx). 



Si ha, per esempio, 



1 !" , fa"», m 5iS±l)_„ m 



(1 — «") ... ( 1 — ««-n+i) ( tt »a; — ) , fc ., t ~| 

 X ( i_ a) ... (a=ì)T j # J 



che è un altro modo di scrivere l'analoga della (16). Per w = 1 si ritrova 

 l'equazione funzionale u k (x) — ~k SC^O 27 )] a cu * soddisfa la u*. Per w qua- 

 lunque la (18) si può acche scrivere u k (x) = — 8 m [ K *( £C )]> dove con S m 



denotiamo la potenza m m% dell'operazione g , ossia l'operazione lineare che 

 risulta dall'applicazione successiva della g per m volte. 



