È facile vedere che la serie 2 h f^h( z ) I K è assolutamente ed uni- 

 formemente convergente, purché l'insieme delle costanti arbitrarie c h sia li- 

 mitato. Infatti, supposto che fc»KL , |a(£,*)| < M , |K(£ ,jj)|<N , \z\ <C Z , 

 tenendo conto che \X h \ ammette come limite inferiore 1/N, si trova che 



|y h (£,s)!<MZ *' NZ - 



dal che segue 



s |!fe(!ifi i W| <t ^ s A + MZ ,,.. a K 



ciò che dimostra l'assunto. 



Dalla (12), integrando rispetto a g, potrà pertanto dedursi 



(14) <*>(?,*) = •(?) + /?(£, x) -f 2 ft ) , 

 avendo indicato con »(£) una funzione arbitraria ed avendo posto 



(15) 0{§,Z) = \ Z a{Z,z)dz,V h [z)=y rfl h (2)dS = fl h (2) + 0&z) . 



La (14) risolve l'equazione integro-differenziale (7). La funzione arbi- 

 traria che in essa compare come termine addittivo, rappresenta manifesta- 

 mente il valore iniziale di <I> per s = 0. Il fatto che questo valore iniziale 

 compaia così semplicemente nella formula, consente di calcolare la funzione V 

 di Jacobi senz'aldina difficoltà. 



6. Esaminiamo ora il caso che il nucleo K sia asimmetrico, escludendo, 

 pel momento, che esso sia privo di parametri e supponendo che siano sempre 

 verificate le ipotesi fatte in principio del § precedente. Consideriamo il 

 nucleo simmetrico 



de) ag. < )-& * g> .^ ) , 



Ah 



che ha gli stessi parametri X 1 , X di K e ammette le tpi , ip 2 



come funzioni paramediche a questi rispettivamente corrispondenti. Inoltre, 



come si verifica immediatamente, si ha G- K (f , rj) = G 2 (£ , rj) , ove il doppio 

 asterisco indica l'operazione di composizione di 2* specie i 1 ). 

 Ciò premesso, osserviamo che la (7) può anche scriversi 



(7') 7><D = ,z) + K<I>(f ,*) , 



da cui, componendo con G a sinistra e ponendo G <I> (£,*) = *P(£ , g) , si 



(*) Volterra, Legons sur les fonctions de lignes, pag. 179. 



