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teorema di Schroeder generalizzato ( 1 ) applicato all'operazione funzionale r, 

 che se, partendo da una certa funzione iniziale qualsiasi O si costruisce la 

 successione di iterate 



<P , <*>! = ra> , <p 2 = r(p, , <P 3 = ro, , ... , 



tutte le volte che questa successione è convergente il suo limite è una so- 

 luzione della (7'). 



Assumiamo <Z> = ; allora, com'è facile vedere, si ha 



z K + - K* + - + - K»j <» + /f + K /?, + ••• + K»/? B , 

 (W = 0,l,2,...), 



avendo posto 



fa(S,s) = f ; = Pft(f ,*)<k, (A — 1,2,.:.). 



Ne segue che se le due serie 



sono convergenti, si avrà la soluzione 



(19) *) — «(£).+ f Vc^UM^ + H^,*) 



^ o 



che per s = si riduce manifestamente alla funzione arbitraria &?(£). 

 Ora si verifica subito che 



(20) \z n K«| < (ZNf , | K w fi n \ < MZ M+1 |K»| , 



dunque la serie Hj ammette come maggiorante la serie esponenziale 2 n (W) n /nl 

 epperò è sempre assolutamente ed uniformemente convergente. Quanto alla 

 serie H 2 essa, in virtù della 2* delle (20), ammetterà come maggiorante 



la serie MZ 2 2„ Z"™ 1 1 K" | e cioè, prescindendo dal fattore MZ 8 , la serie dei 

 moduli corrispondente allo sviluppo in serie di Z del nucleo risolvente del- 

 l'equazione di Fredholm 



*(*)'- z Pk^,,)^)^ = /(£)• 



( x ) Cfr. Tricomi, SuWit evasione delle funzioni di linee [|Giorn. di Mat. di Batta- 

 glila, voi. 55 (1917)]. 



