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ove con f\ ed f% indichiamo rispettivamente la parte reale ed il coefficiente 

 dell'immaginario della forma /". Notiamo esplicitamente che i caratteri a, 

 /? e y potranno anche non comparire tutti e tre, ma almeno uno, e ciò può 

 venire precisato facilmente ricorrendo alla tabella inserita a pagina 212 

 della mia Nota ora citata, e tenendo presente che il determinante è razionale. 



I generi definiti dalle (2) si diranno, con Hilbert, generi della specie 

 principale, li loro numero è, manifestamente, 2 S . 



Scopo del presente lavoro è di determinare, basandoci unicamente sopra 

 la teoria delle forme aritmetiche, le diverse categorie di classi di forme ( l ) 

 aritmetiche di Dirichlet, determinanti D ; appartenenti ai generi della specie 

 principale ( ? ). 



2. — Introduciamo le seguenti definizioni : diremo classe razionale, 

 una classe di forme aritmetiche di Dirichlet, a determinante D, quando 

 contiene una, e quindi infinite forme a coefficienti interi, razionali ; classe 

 complessa, nel caso opposto. 



La classe principale, contenendo la forma (1,0, — D) , è razionale. 

 Manifestamente le classi razionali costituiscono un sotto-gruppo del gruppo 

 di composizione ( 3 ) delle classi di forme di Dirichlet considerate. Segue: il 

 numero delle classi razionali è sempre un divisore del numero totale delle 

 classi. 



Consideriamo una classe razionale e sia rn un intero razionale, rappre- 

 sentato (propriamente o no) dalle sue forme e primo con 2D . Per note re- 

 lazioni tra il simbolo di Dirichlet e quello di Legendre ( 4 ), nel corpo 

 K(j — l) , abbiamo : 



m - £ ) - + ■ <*■ = 1 • 2 v> ; pà - (f) ■ è] -&) 



quindi 



[,]::> ■ *> 



(') L'equivalenza da noi considerata è l'equivalenza propria, quella cioè rispetto al 

 gruppo delle sostituzioni aritmetiche jl> ne ^ C01 T° — l)> ove «cf — §y — -4- 1. 



( 2 ) Hilbert, nella sua Memoria: Ueber den Dirichlet'' schen biquadratischev Zahl- 

 k'órper. Math. Ann. 45 Bd., ha notato (§ 9 seg.) degli speciali corpi di Dirichlet, in cui 

 certe classi di ideali appartengono a determinati generi, che chiamò appunto generi della 

 specie principale. Agli ideali di questi corpi speciali di Dirichlet corrispondono le forme 

 di Dirichlet, nel corpo K(y — 1 ), a determinante intero razionale che noi consideriamo in 

 questo lavoro. 



( 3 ) Sulla composizione delle forme di Dirichlet, cfr. Bianchi : Sulle forme a coef- 

 ficienti ed indeterminate complesse. Atti Acc. Lincei, serie 4 a , voi. V, fase. 8, pag. 589. 



( 4 ) Cfr. Dirichlet: Recherches sur les formes quadratiques à coejficients et à indé- 

 terminées complcxes. Crelle's Journal, 24 Bd. 



