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ed inoltre è, manifestamente : a = -\- 1 , /? = -)- I , y = -j- 1 ben inteso, 

 tenendo presente quanto si è detto intorno a questi ultimi tre caratteri. Si 

 ha dunque: le classi ragionali appartengono ai generi della specie prin- 

 cipale. Con questo, abbiamo una prima categoria di classe di forme di Di- 

 richlet, appartenenti ai detti generi. 



Segue da quanto ora si è detto : una classe di forme aritmetiche, a 



determinante D , per la quale, ira i caratteri — , ove pi è un fattore 



primo, dispari, razionale e = 3 (mod. 4) di D , e di caratteri a , p e y 

 iod alcuni di essi) , almeno uno sia — 1 3 è una classe complessa. 



Da quest'ultima considerazione risulta l'esistenza, in generale, delle 

 classi complesse e così pure l'esistenza di generi contenenti esclusivamente 

 classi complesse. 



È facile vedere che : il numero delle classi razionali è sempre un di- 

 visore del numero delle classi complesse. 



Consideriamo le classi di forme aritmetiche di Dirichlet a determinante 

 D (primitive di prima specie) che contengono una, e quindi infinite, forme 

 del tipo (a , ib . c) ove a , b , c sono interi razionali, tali che — b 2 — ac = D . 



Tali classi saranno denominate : classi del tipo P . Esistono classi del 

 tipo P , razionali . (Ad esempio quelle contenenti forme del tipo (a , o , c) , 

 ove a e c sono interi razionali tali che — ac = D) . Inoltre, notiamo che esi- 

 stono classi del tipo P, complesse. Infatti, considerata una forma (a, b, c) 

 a coefficienti interi, razionali, a determinante — D , primitiva di prima 

 specie, appartenente ad una classe non ancipite ('), la forma (a , ib , — c) 

 apparterrà ad una classe P, di forme del tipo P, a determinante D, non 

 ancipite, manifestamente, e quindi complessa, perchè se fosse razionale la 

 classe P! coinciderebbe con la classe coniugata ( 2 ) P,„ = P7 1 , cioè P sarebbe 

 ancipite, il che non può essere. 



Si ha ora : le classi complesse del tipo P . appartengono ai generi 

 della specie principale. Invero ciò è evidente quando si pensi che le forme 

 di tali classi rappresentano dei numeri interi, razionali e primi con 2D . 



Abbiamo quindi una seconda categoria di classi di forme aritmetiche 

 di Dirichlet, appartenenti ai generi suddetti. 



Notiamo che la totalità delle classi del tipo P , a determinante D , 

 costituiscono, come le classi razionali, un sotto gruppo del gruppo di compo- 

 sizione delle classi di forme di Dirichlet, considerate e quindi : il numero 

 delle classi del tipo P , è sempre un divisore del numero totale delle classi. 



(*) Una classe di forme (primitive di prima specie) si dice ancipite od ambigua, 

 quando composta con sè stessa oftre la classe principale. 

 ( 2 ) Cfr. N° seguente. 



