una funzione U , m-armonica in r , cioè regolare in v e che soddisfa ivi al- 

 l'equazione indefinita 



J m \] = , (j = div grad = + + . 



È facile mostrare che ia/e funzione si può esprimere come somma di 

 funzioni potenziali (d'ordine superiore e poliarmoniche) di strati semplici e 

 doppi, distribuiti, con opportuna densità, sulla superfìcie e . 



Per semplicità, supporremo m pari. 



Per questo, ricordiamo anzitutto la formula (Bj § 3 , B 2 § 2) : 



m—l r 



(1) fl.U(P) = Y . (j* U . DJ m ~ i - l f* — jn-i-if . J)Ji JJ)do , 



o 



ove, per brevità, si è posto 



a = An(2m — 2) ! , v = 2m — 3 , 



ed r indica la distanza del punto generico P di % da un punto variabile, e 

 D/ indica la derivata secondo la normale interna della funzione generica f . 



Diciamo poi U' la funzione //(.-armonica nello spazio indefinito t' esterno 

 alla superfìcie e, che si comporta all'infinito come una funzione potenziale 

 m-armonica, e che su a soddisfa alle condizioni seguenti, ove /t = m/2 : 



i yi TT' _ TT 



|2 > |a*r-a*v. »-••».• 



applicando alle funzioni U' ed , che sono ///-armoniche nello spazio r , 

 una nota formula (B! § 3 , B 2 § 2) , si ottiene 



m—l r 



= > . \ (J l U' . D^/ m ~ ,-1 r v — . Dz/'U') rftf ; 



o J" 



sottraendo dalla (1) e ricordando le (2), risulta 



m—l r 



a O(P) = >_ t . ) — U') . D^ m - < - 1 ^ — J m -*- l r\ Dj^JJ — U' )] </<r . 



che può scriversi sotto la forma 



(3) a U(P) = y< ) & Dz/V» — Jh» . Dhi) da , (n = /t — 1) , 



la quale dimostra la proprietà enunciata. 



2. Consideriamo ora la funzione T, w-armonica in r, e che nei punti 

 M di a soddisfa alle condizioni ai limiti : 



(4) 



D l r = D'(MQ)" , (t = , 1 ; 2 m — 1) , 



