MQ essendo la distanza del punto Q (polo], che si riguarda come fisso in 

 t , dal punto variabile M . 



Questa funzione r dicesi funzione preliminare di Green d'ordine m e 

 di l a specie, mentre la funzione G = (MQ) V — r si dice funzione di Green 

 d'ordine m e di l a specie. La funzione r dipende dai punti M e Q e per- 

 ciò possiamo indicare con T(M,Q) il valore in M della funzione r avente 

 per polo Q . 



È facile vedere (B, § 2 , B 2 § 3) che le (4) possono essere sostituite dalle 

 seguenti (supposto m pari, come nel n. 1 , ed n — m/2 — 1) : 



(^T(M,Q) = ^(MQ)\ ,. n , 9 , 

 1 ' J Dz/T(M , Q) = D//'(MQr { ~ ' ' '" ' * ' 



Ciò premesso, se P è un altro punto qualunque di r , calcoliamo il 

 valore T(P , Q) nel punto P , della funziono T avente per polo Q ; basta 

 applicare la (3) , da cui si trae 



(5) aT(P , Q) = Xi f { **(Q i M)D M ^(MP)< - ^(MP)\ D H fc(Q , M) ( tir* , 



o J 



ove M è un punto variabile su a , D M indica la derivata normale interna 

 a <r in M , e da M è l'elemento d'area attiguo ad M . 

 Applicando le (4') , si può pure scrivere 



rT(P , Q)=f t f j ht(Q , M)LV/> r(M , P) — J* F(M , P) . D„A*(Q , M) { d<r u ; 

 ma, con una formula analoga alla (5) , si ha 



at( M , P) = f f j hj(P , N)D„^' (NM)* — Ji(SM.y . D N ^-(P , N) { d<r H , 



perciò, sostituendo, 



a*r(P , Q) = #, f. f f { hi{Q , M) hj(V , N) D M D N ^(NM)* — 



— hi(Q , M) p„^'(NM)< . D N /* ; (P , N) - hj{P , N)D N ^(NM)* . D„/ ?< (Q , M) + 

 + ^^'(NM/ . D N /*,(P , N) . D„A,.(Q , M) { cto M d<r N . 



Ora è chiaro che il secondo membro non muta scambiando fra loro i 

 punti P , Q ; perciò si conclude : T(P , Q) = T(Q , P) , ciò che dimostra il 

 teorema di reciprocità. 



La stessa dimostrazione si applica se m è dispari, ovvero se r è lo 

 spazio indefinito esterno a e, come pure se si considerano le funzioni di 

 Green delle varie specie (Bi § 6 , B 8 § 4) , anche nel caso di quante si vo- 

 gliano variabili. 



