Nella (1) F è il solito simbolo di una funzione ipergeometrica costruita 

 con i parametri — X , X -f~ 1 ed 1 , mentre F' , nella (2) , è la derivata di 

 questa funzione rispetto al quarto parametro. Posto, per brevità, 



F,[«r] = F[— l, X + 1 , 1 ,ff], 



per la coesistenza delle (1) e (2) è necessario e sufficiente che sia verificata 

 la relazione 



(3) J? 



Fj 



(t - ?oV 



u io J L 



F\ 



4t$ 



^ = ^F 1 

 2t 1 



L 4££ J 



In questa Nota ci proponiamo principalmente di dare una dimostra- 

 zione diretta della (3) . 



(4) 



£ t 



Anzitutto, posto x = — , x = — , alla (3) si può dare la forma 

 ? s 



c x ° F r_ (j-^q )h F r a-^H ^ = 



Ji 1 [_ 4x £c _| ' L _J2x 

 Ricordiamo poi che Fi[ff] soddisfa all'equazione differenziale 



(5) — tf)F,"[tf] + (1 — 2tf)Fl [tf] -j- A(A + l)Fi[cr] = 0, 



(a; — <^o) 2 



e che, posto a = — 



4x x a 



(1 - 2tf)F.I [>]=■— 2x 



, abbiamo facilmente 



x 2 + "2> 



0.(1 _ tf)F ;' O] = - x- ^ Fi M + 2* ^ Fj[(r] ; 



per cui la (5) si può scrivere 



(6) 



V 



"Sa; 



+ 1) 



~ FSffl + 2 . = — F,[<r] — -s — ^— ' F,[<t] = . 



n ^ 



Notiamo inoltre, che, facendo x = 1 , e ponendo t == — — — — , si 



4x 



avrà, dalla (6) , 



d 



(7) 



a 2 — 1 dx 

 Dalle (6) e (7) deduciamo 



~7> 



a (x* - xl) j F,H ^ F,[>] - P,M ^ Fi w j + P,M PI [r] 



Rendiconti. 1921, Voi. XXX, 2* Sem. 64 



