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cendo son venuto ad imitare il processo di sviluppo storico, p. es. della 

 teoria delle equazioni di tipo ellittico, che per un primo e non breve pe- 

 riodo si limitò soltanto alla più semplice di esse: l'equazione di Laplace 

 AiS = . Per l'equazione (E) mi è stato possibile risolvere il problema 

 fondamentale della teoria delle equazioni a derivate parziali considerate dal 

 punto di vista delle funzioni di variabili reali, e cioè quello di trovare le 

 condizioni al contorno atte a determinare univocamente una soluzione parti- 

 colare in un certo campo. Naturalmente si tratterà di un campo attraversato 

 dalla curva parabolica, altrimenti il problema riguarderebbe solo apparen- 

 temente le equazioni di tipo misto. 



Propriamente, servendomi del fatto che la (E) è una trasformata di una 

 particolare equazione di Eulero-Poisson (M, ho cominciato col cercare di 

 stabilire una relazione che legasse i valori 

 t(x) che una qualsiasi soluzione regolare ( 2 ) s 

 della (E) riceve sul segmento AB staccato 

 sull'asse x dalle due caratteristiche uscenti 

 da un punto qualunque C del semipiano iper- 

 bolico, con quelli, (f{x) , che la medesima 

 soluzione riceve sul pezzo di caratteristica AC, 

 e coi valori v{x) che ~òz/ì>y riceve su AB. 

 Supponendo per semplicità che le ascisse di 

 A e B siano rispettivamente ed 1 , ho così 

 trovato l'equazione 



J~* L 

 {x— y) 3 v(y)dy 

 



dove (fi(x) è una funzione che si calcola facilmente nota che sia <p{x), e y 

 è un coefficiente numerico. 



Stabilita la (3), si perviene agevolmente al seguente teorema di 

 unicità : 



Non può esistere più di una soluzione regolare della (E) assumente 

 valori arbitrariamente /issati sul pezzo di caratteristica AC e su di una 

 curva qualsiasi <s congiungente A con B senza uscire dal semipiano 

 ellittico. 



Successivamente, nell'intento di giungere all'inversione di questo teo- 

 rema, cioè a dimostrare l'esistenza della soluzione di cui esso assicura 

 l'unicità, ho considerato anzitutto il caso preliminare che i valori di z siano 

 assegnati sul contorno chiuso costituito dalla curva <f e dal segmento AB, 



( 1 ) Ved. G. Darboux, Lepons sur la théorie gén. des turfacei ete., 2 e éd. (Paria, 

 Gauthiei-Villars, 1914-15), t. II, pag. 54 e seg. 



( 2 ) Cioè finita e continua assieme alle sue derivate prime. 



