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è che, per ogni funzione f(x) sommabile in (a , b) insieme col suo quadrato, 

 sia soddisfatta l'equazione di chiusura 



(2) [\f{x)ydx = Jja\ O, 



J a 



dove 



M = f(- r ) 9>i( x ) dx (2=1,2,3, ...) 



J a 



Sia c un numero qualunque compreso fra a e b , e indichiamo con f(x) 

 la funzione che è uguale ad 1 in {a , e) e uguale a zero in (e , b) . 

 Per questo funzione la (2) ci dà 



c — a=/ i 



j" <pi{x) dx J 



Mutando c in x , possiamo allora concludere che, se (1) è chiuso, è, per 

 agili x in (a , b) , 



(3) x — a — y_i 



9>,-(./') 



Questa condizione è anche sufficiente perchè, se (1) non è chiusa, 

 esiste una funzione effettiva tp(x) sommabile in (a , b) insieme col suo qua- 

 drato. normale e ortogonale a tutte le (1), e, per la disuguaglianza di Bessel( 2 ), 

 si ha 



x — a , 



Ti £ f "guìx) dx ~J -f £ I** W(x) dx ~J 



da cui, per qualche x , 



\ ('OC 



perchè per qualche x è I xp{x) dx =^= ( 3 ). 



' a 



2. Consideriamo il sistema di funzioni normali e ortogonali in (0 , 27r) 



, 1 cos nx sen nx , _ „ . 



1') -i= ' • —-=- (n = 1 , 2 , 3 , ...) 



| 2?T |/tT 



(') Ved. ad es.: Severini, Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali, 

 Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXXVI (1913), pp. 177 e seg. 



( 2 ) Ved. p. es.: Severini, loc. cit. 



( 3 ) Vedi G. Vitali: Sulle funzioni ad integrale nullo (Rendiconti del Circolo Mate- 

 matico di Palermo; t. XX, 1905), pagg. 136-141. 



