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Per dimostrare che è chiuso, basterà provare che 



x 2 



27T 1 TX 



cioè che 



+ 4:1 



2 — 2 cos nx 



— = x . 



o, poiché 



che 



2rc n — n 



^- n 2 6 U ' 



,, v x~ 2 cos w.r a; 2 . 7i s 



M X — T-- + T 



E poiché il 1° membro di (4) è proprio la serie dì Fourier della fun- 

 zione 



x 2 . re 2 



che figura nel 2° rflembro, per provare che il sistema (1') è chiuso basta 

 provare che la funzione 



x 2 , n- 



è la somma della corrispondente serie di Fourier. 



Ora la serie che figura nel 1° membro di (4) è uniformemente con- 

 vergente e quindi convergente verso una funzione continua: e allora, per pro- 

 vare che sussiste la (4) , basta provare che non esiste una funzione continua 

 B(x) non dappertutto nulla, per cui 



i d(x) dx = 0. 

 I 



! r* w 



(5) < I 6(x) sen nx dx = 



I 8(x) cos nx dx = 



'Ci 



(« = 1,2,3, ...) 



È noto che questo si prova molto facilmente (*). Per questa via la 



( x ) Ved. p. es.: Analisi algebrica di E. Cesaro (Fratelli Bocca, Torino), p. 143. 

 ( 2 ) Ved. per es.: Fubini, Lezioni di analisi matematica, 4 a ed. STEN, pag. 444 e seg. 



