— 5 — 



Si possono porre le identità precedenti sotto un'altra forma, introducendo con 

 Christoffel ( l ) simboli a cinque indici (rk , ihl) colla forinola : 



(«) (rk , ihl) = ^-(rk, ih) — f f f j (f A , «A) — Y j*{ (r* , *A) — 



ossia, come si esprime il Ricci, formando le derivate covarianti dei simboli 

 Riemanniani, allora la (A) può scriversi sotto la forma equivalente : 



(A*) (rk , ihl) + (rk , Mi) + (rk , Uh) = . 



È da osservarsi per altro che le (A), o le equivalenti (A*), si riducono a 

 pure identità formali se r = k ed anche se due dei tre indici i, h, l sono 

 eguali. 



2. 



Per dimostrare la (A) cominciamo dall' osservare che le derivate delle 

 Axa rispetto alle x si esprimono linearmente per le A stesse e pei simboli 

 a tre indici di Christoffel colla formola: 



(a) —rr == — / A\t ] — > An t J-f. 



TfSBi T W T i**) 



E infatti indicando con è s \ lo zero o V unità, secondo che s 4= ^ o s = X, 

 si ha 



i 



che derivata rapporto ad Xi porge 



^ n Dk Xi ^. io* 

 J_ a si — — = — >_ Axì — . 



j ò OCi ' ^ ò tìGi 



ossia 



Moltiplicando questa per A S[A e sommando da s = 1 a s = coli' osservare 

 la (2), risulta appunto la (a). Ciò posto formando dalla (3) la 



^(rk,ih), 



( l ) Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrùcke ziveiten Orades 

 (Crelle's, Journal Bd. 70). V. § 6. 



