è costante attorno ad, ogni sìngolo punto in qualunque orientazione, essa 

 non può variare nemmeno da punto a punto, cioè lo spazio è a curvatura 

 assolutamente costante. 



Per dimostrare questo teorema Schur ha fatto uso di considerazioni 

 geometriche sulle superficie geodetiche. Mi propongo qui di far vedere come 

 si arriva direttamente al teorema stesso, applicando le identità (A). 



Nella ipotesi che la curvatura Riemanniana K sia una funzione delle 

 coordinate del punto, ma indipendente dall' orientazione attorno 



al punto, per la formola stessa che dà la curvatura Riemanniana dovremo avere, 

 per ogni quaderna di indici r , k ,i , h, le relazioni 



(5) (rk , ih) — K (an a hh — a rh a iH ) • 



Ora partiamo dall' osservazione, d' immediata verifica, che le forinole (A) 

 risultano identicamente soddisfatte ponendovi in luogo dei simboli (rk , ih) 

 di Riemann i corrispondenti minori del 2° ordine 



ari Ohk ~~ &rh ttik 



del discriminante a. Ed invero, formando, secondo («), le derivate covarianti 

 di questi minori (che formano un sistema quadruplo covariante secondo 

 le dominazioni del Ricci) si vede che esse sono identicamente nulle. Sosti- 

 tuendo nelle identità (A) pei simboli di Riemann i loro valori supposti (5), 

 queste diventano : 



(a ri a m — arh Ckk) ~ h (a rh a Uc — a rl a hh ) — -f-(a,-i a lk — a ri a ld ) — = . 



oXi èXi cXh 



Moltiplicando questa per A ri e sommando da r = 1 a r = n (col ricordare 

 che i , h , l sono supposti diversi) si ha semplicemente 



ahk ~ — <% r — v • 



Se teniamo fissi h, l e diamo a k tutti i valori da 1 a n, non sussistendo 

 le proporzioni: 



ani '■ ah2 '• ••■ '■ aim = a-n • a>iz '• ••• au 

 (giacché a non è nullo), se ne trae 



j)K VK 



~òXh ~ì>Xl 



E poiché ciò vale per tutti i valori degli indici h, l, se ne deduce appunto 



K = cost te , 



ciò che dà il teorema di Schur. 



