— 56 — 



esisterà in generale un numero finito e non nullo di spazi $s contenenti t [/f] 

 generatori della nostra varietà ; e noi, nel seguito, supporremo che la rela- 

 zione precedente sia soddisfatta. 



Sia V la varietà normale, d'ordine v , dello spazio [y -f- h~] , di cui la data 

 varietà può riguardarsi come projezione. Gli spazi []f\ che ricerchiamo corrispon- 

 dono biunivocamente agli spazi [_(h -J- 1) t — 1] che congiungono a t a t gli 

 spazi generatori di V e che si appoggiano a un dato \y -\-h — r — 1] secondo un 

 \_[h-\-\)t — k — 2] ('). Assumiamo in V _[_ % _ (/j _j_ i) t 1 direttrici 

 ad h dimensioni di ordine v — t, e siano ,2 2 , ... gli spazi a v-f/i — t — 1 

 dimensioni in cui esse sono immerse (Bellatalla, loc. cit., n. 2). Fra gli 

 iperpiani dei sistemi lineari (2) poniamo delle corrispondenze dicendo omo- 

 loghi gli iperpiani di quei sistemi quando, dai rispettivi sostegni, projettano 

 le / — pie di spazi generatori di V. Queste corrispondenze saranno projettività 

 come si vede secando tutto con un S v e osservando che, per una considera^ 

 zione svolta al n. 3, le sezioni dei sistemi (2) riferiti nel modo detto, sono 

 sistemi lineari projettivi di S v _i . 



Sicché la nostra questione è ridotta a cercare nello S v +h , quanti sono 

 gli spazi [(/i -|- 1) t — 1] comuni a v -\- h — (h -j- 1) t -\- 1 iperpiani omo- 

 loghi di altrettanti sistemi lineari projettivi oo' , i quali si appoggiano a un 

 dato [v -f- h — r — 1] secondo un [_{h -f- 1) t — k — 2] ; e la risposta ad 

 essa l'avremo ponendo nella forinola (2) 



d = v -\-h,l = (h+l)t — l,p = t,S = v + h — r — \,p={h + \)ì — k — 2. 



Verrà allora: 



( v + /, + ( V a - ( A + i) ^ 2 ) r . t .... (v + - A -- 1W 



(r — k) r -* (r — k-\- l) r -n .... (r — 2k + (h -f 2) r _ k 



Questa è la formola che dà il numero dei [k~] che contengono t S/i ge- 

 neratori di una oo 1 razionale di spazi, appartenente allo S r , allorché, benin- 

 teso, questo numero è finito ( 2 ). 



(!) Qui si suppone, implicitamente, che t [h] generatori di V siano indipendenti, per 

 il che bisogna e basta che sia t <_m' -\- 1 ove m' denota l'ordine di una curva direttrice 

 minima tracciata sopra V. Cfr. Bellatalla, Sulle varietà razionali normali composte 

 di oo 1 spasi lineari (Atti della E. Acc. di Torino, t. XXXVI, 1901) n. 10. Se t > m'+l 

 il numero di cui ci stiamo occupando nel testo, sarà infinito. 



( 2 ) Per k = r — 1 si ottiene la formola data dal Tanturri al n. 6 della Nota, Un 

 problema di geometria numerativa sulle varietà algebriche luogo di oo 1 spazi. (Atti 

 della R. Acc. di Torino, t. XXXV, 1900). 



