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Recentemente nei Mathematische Annalen, i quali accolsero la maggior 

 parte dei lavori precedenti, vide la luce una breve Nota della sig. na Scott 

 nella quale è dimostrato il « Fundamentalsats » di Nother, per le forme 

 ternarie, con mezzi molto semplici. 



1. Date h (<. r) forme Fj , F 2 , ... F h delle r-\- 1 variabili , :ak , 

 supposto che le equazioni 



(1) 



F 1 = 0, ....,F„ = 



^F, 



= 



ÌFh ^ 



abbiamo meno che oc/-' 1 soluzioni comuni, trovare le condizioni necessarie 

 e sufficienti perchè una forma F, delle medesime variabili, si possa esprimere 

 come combinazione lineare di E\ , F 2 , . . . , F h ; ossia affinchè esistano certe 

 forme A, , A 2 , . . . , A h in guisa che : 



p = A 1 F 1 +A 2 F 2 + ... + A ft F A . 



Tale è il problema che ci occuperà nella presente Nota. 



Esso assume un aspetto geometrico quando à x r , s'interpretino 



come coordinate omogenee di punto in uno spazio S,.. Alla totalità delle 

 soluzioni dell'equazione Fj = viene a corrispondere una oo r_1 di punti 

 dello S r , i quali diremo costituire una ipersuperficie ( 2 ), che denoteremo con 

 la lettera Fi ; e analogamente per le equazioni F 2 = , . . . , F ft = 0. 



Mentre la forma F t determina Fj , a questa corrispondono infinite forme 

 che differiscono tra loro per fattori costanti. 



Se in un punto comune a Fi , . . . , F* sono soddisfatte le equazioni 



Il ^ 



= > \ • a ' ' ì i <l ue l punto o sarà multiplo per qualcuna delle F, 

 y = , • • • , r) 



oppure in esso gli iperpiani tangenti alle F saranno linearmente dipendenti ; 

 e quindi o il punto sarà multiplo per la varietà <P comune alle F , oppure 

 apparterrà ad una varietà, più che r — h volte estesa, costituita da punti 

 comuni alle F. Questa osservazione prova che se le equazioni (1) hanno 

 meno che ca r ~ h soluzioni, la varietà <P comune alle F sarà precisamente di 

 dimensione j he non avrà parti multiple ( 3 ), potendo del resto possedere 



(') A proof of Nòther's fundamental Theorem (Math. Ann., Bd. 52, pag. 593 [1899]). 



( J ) Non adoperiamo, come si usa anche di fare, la parola forma per indicare l'in- 

 sieme delle soluzioni di F, = 0, e analoghe, perchè in questo lavoro è utile non con- 

 fondere la concezione della fonna Pi , con la concezione della totalità de' suoi zeri. 



( 3 ) Ora e nel seguito parlando di parte di una varietà, s'intenderà di parlare di una 

 varietà di ugual dimensione, in essa contenuta. 



