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singolarità qualunque; e viceversa. Sicché geometricamente le condizioni a 

 cui sono assoggettate le F si traducono in ciò che la varietà d> è di dimen- 

 sione r — he non ha farti multiple. 



2. Per rispondere alla domanda che abhiam fatto al numero precedente, 

 ci occorreranno alcune nozioni sulla teoria dei moduli, e, per comodità del 

 lettore, le riuniremo qui ( 1 ). 



Si dice che un sistema illimitato di forme costituisce un modulo quando 

 combinando linearmente un numero qualsiasi di forme del sistema si ottiene 

 una forma di questo. 



Si dimostra allora ( 2 ) che tra le forme di un modulo se ne può sempre 

 trovare un numero finito Fi , . .. , F ft , talché ogni forma F del modulo possa 

 esprimersi come combinazione lineare di quelle : 



Le forme F, , . . . , ¥ h posson dirsi gli elementi fondamentali del modulo, 

 che s'indicherà con (Fi , F 2 , . . . , F ft ). 



Interpretando le variabili x , . . . , x r , delle quali le F son funzioni, 

 come coordinate di punti in uno S r , avremo le ipersuperficie Fi,...,F>, 

 corrispondenti agli elementi fondamentali, e se c'è una varietà M comune 

 alle F potrà chiamarsi la varietà base del modulo. 



Considerando la totalità delle ipersuperficie passanti per M ( 3 ), verremo 

 a considerare in corrispondenza un certo sistema di forme, il quale subito 

 si scorge essere un modulo : bisogna però ben badare di non confondere questo 

 modulo col modulo (Fi , F 2 , . . . , F&) ; ci saranno dei casi in cui i due moduli 

 coincidono, ma è facile persuadersi sopra esempi, che non è sempre così. 



Nella Memoria citata di Hilbert ( 4 ) si dimostra inoltre che il numero % (l) 

 delle condizioni indipendenti che s' impongono ad una forma d'ordine l (ai 

 suoi coefficienti), obbligandola ad appartenere ad un certo modulo, se / è 

 abbastanza grande, si rappresenta così: 



ove Xo i Xi - • • > Xd sono certi numeri, indipendenti da l , caratteristici del 

 modulo dato, del quale % (l) si chiama la funzione caratteristica. 



(•) Vedasi l'importante Memoria di Hilbert, Ueber die Theorie der algebraischen 

 Formen (Math. Ann., Bd. XXXVI, pag. 473 Q890]). Ivi si troveranno le citazioni relative 

 ai lavori anteriori di Kronecker, Dedekind e Weber. 



(*) Hilbert, loc. cit., pag. 479. 



( 3 ) Dicendo « ipersuperficie passante per M » intendiamo, come è d'uso nella geo- 

 metria iperspaziale, alludere ad una ipersuperficie corrispondente ad una forma che si 

 annulla in tutti i punti di M, senza che sia necessariamente soddisfatta qualche altra 

 condizione circa l'annullarsi della forma stessa nei punti di M. 



F = Ai Fi -f- • • • + A/, F ft . 



( 4 ) Ved. a pag. 512. 



