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3. La questione del n. 1 è risoluta dal teorema seguente: 



Se le ipersuperficie Fj , . . . , Fh (h <. r) corrispondenti alle forme 

 Fi , . . . , F ft delle r -J- 1 variabili x Q , ,iv r , si tagliano in una varietà di 

 dimensione r — K, priva di parti multiple, la condizione necessaria e suf- 

 ficiente perchè una ipersuperficie F corrisponda ad una forma F tale che 



F = A 1 F ]j '4-A 2 F 8 4-...-f-A ft F ft , 



le A, , . . . , A h essendo forme di convenienti ordini, è che F passi per la 

 varietà comune ad Fi , F 2 , . . . , F h ('). 



Insieme alla proposizione enunciata noi dimostreremo quest'altra : 



La funzione caratteristica del modulo (F! , F 2 ... , F h ) ove F x , ... , F ft 

 sono h (<. r) forine {di r -j- 1 variabili), rispettivamente degli ordini 

 ni , n 2 , • • ■ , Wft , «^0 ^wafe' corrispondono le ipersuperficie F x , . . . , F h mter- 

 secantesi secondo una varietà r — h volte estesa e priva di parti mul- 

 tiple, è: 



'l — »i — • %-f-7*\ 



+l(! - *7* +, )-----K-iyf 



ove i sommatori s'estendono alle combinazioni semplici di l a , 2 S , .. .(h — 1)* 

 classe degli indici 1 , 2 , . . . , h ( 2 ). 



La dimostrazione delle due proposizioni antecedenti si farà simultanea- 

 mente e per induzione completa. Si osservi che l'un teorema e l'altro sono 

 veri quando h = 1 ; perciò li avremo dimostrati in ogni caso quando, am- 

 mettendoli veri per h — 1 forme, di un numero qualsiasi di variabili, riu- 

 sciremo a dimostrarli anche per h forme. 



(') Nella Memoria di Hilbert, Ueber die vollen lnvariantensy steme (Math. Annalen, 

 Bd. 42 [1892], ved. a pag. 320), si dimostra un teorema di cui è caso particolare il 

 seguente : Se una forma F di x , Xi , ■ ■ ■ , x r si annulla per gli stessi valori delle x per 

 i quali si annullano simultaneamente le forme F 1 ,...,F h delle medesime variabili, si 

 può sempre determinare un numero intero s tale che F* = AiFi-| j-A^P^. 



Nella Nota, di poco anteriore, del prof. Bertini, Rappresentazione di una forma 

 ternaria per combinazione lineare di due altre (Rendiconti del R. Istituto Lombardo, (2), 

 t. XXIV [1891]) il numero s , di cui parla il teorema precedente, è determinato quando 

 h=2 e FjF^Fa son forme ternarie. Il teorema da noi dato nel testo dice che quando 

 • Ili) Fi 1 ! 



h_SLre le equazioni —— j = passano per meno che oo r ~ h zeri di F! , . . . , Fh , il numero s 



\\o Xj\\ 



di Hilbert è uguale ad 1. 



( 2 ) Nella Memoria di Wirtinger, Untersuchungen ùber Thetafunctionen, Leipzig, 

 Teubner 1895, a pag. 20, trovasi una formola che esprime la funzione caratteristica della 

 intersezione di una varietà, di data funzione caratteristica, con un certo numero di forme 

 generiche. Ma la dimostrazione della formola suddetta mi sembra in qualche punto dubbia, 

 sicché non ne ho fatto uso. 



