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4. Le ipersuperficie F x , . . . , F h di ordini ni , n% , . . . , Hh , e di equazioni 

 Fi — , , F h = s'intersechino secondo la varietà <P , ad r — /i dimen- 

 sioni, e senza parti multiple. 



Una ipersuperficie F, d'ordine l, insieme ad un iperpiano che tagli <P 

 in una M r _/,_i priva di parti multiple, corrisponda ad una forma apparte- 

 nente al modulo (Fi,..., Fa); allora io dico che anche la forma F, cor- 

 rispondente a F, appartiene a questo modulo. 



Supponiamo che l'iperpiano x tì = sia generico in guisa che tagli <P in 

 una M r _ ft _, priva di parti multiple; per ipotesi la forma xj? apparterrà 

 allora al modulo (F, , ... , F h ), ossia avremo: 



(1) tf F = A 1 F 1 + ---+A ft F ft , 



donde : 



A 1 (0,#i,...,£ r )'F J (0,#i,...,# r )-f-...-{-Aa (0,x l ,...,x r )¥ h (0,x l x r )=0, 



dalla quale rilevasi che alla forma A^O,^, ...,x r )F l (0,x l ,...,x r ) corrispon- 

 derà una ipersuperficie passante per la M r _ ft , senza parti multiple, comune 

 alle ipersuperficie, che nell' iperpiano x = , son determinate dalle forme 

 F 2 ,...,F ft , delle quali (al pari della FJ nessuna, nelle nostre ipotesi, si 

 annulla identicamente ponendovi x = 0. Siccome la sezione di Fi con x — O 

 non passa per la suddetta M r - h , chè altrimenti x = secherebbe <t> secondo 

 una varietà più che r — h — 1 volte estesa, dovrà l'ipersuperficie corrispon- 

 dente ad A, (0 ,x x , . . . ,x r ) passare per la M r _ ft più volte nominata; e, pel 

 teorema ammesso per h — 1 forme, sarà : 



A { (0 ,x l ,...,x r )=B 2 (x i ,...,x r )'F 2 (0,x ìì ...,x r )]-\ ì r B h (Xi,...,X r Wh(0,X l ,...,X r ), 



ossia : 



A l (x ,x 1 ...,x r )='B 2 (x l ,...,Xr)F 2 (x ,Xi,...Xr)-\ {-~B h (x l ,...,x r )F h (x ....,x r )-\- 



-\-XqAi (Xo , .•• ì X r ) • 



Sostituendo nella (1), verrà: 



x F = x a;f, + (A 2 + B 2 PO F 2 H [- (A, + B h PO F„ , 



la quale prova che la ipersuperficie corrispondente alla forma x (F — A^F,) 

 passa per la M r _ ft+1 , priva di parti multiple, comune a F 2 , ... ,F h . Sic- 

 come x — non passa per la Mr_ft +I suddetta, ci passerà l'ipersuperficie di 

 equazione F — Al Fi — , ossia, sempre pel teorema ammesso per h — 1 

 forme, F — k[¥ l apparterrà al modulo (F 2 , . . . , F ft ) : 



P — A^F, = A 2 F 2 -J hA\P», 



donde : 



F = A;F 1 + A;F 2 + .... + A' h F,, 

 che dimostra quanto abbiamo enunciato al principio di questo numero. 



