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far sovrapporre i punti singolari' di un'equazione Fuchsiana. Noi sappiamo 

 infatti che un'equazione , ■ ,;■ ;■ ' ■ <j, . ; _..->;. 



(1) t tf*> +lhy*- l) + ;. • • • . + 'p n y = 



a coefficienti razionali è o non è appartenente alla classe di Fuchs, secondo 

 che l'ordine di polarità di fa nei -vari punti singolari per l'equazione non 

 supera, o supera il numero k (supposto il punto all'infinito punto non sin- 

 golare). Ed è ben chiaro che se questo limite fosse superato p. es. in uri 

 punto A, noi potremo immaginare che si sia arrivato ad esso, facendo sovrap- 

 porre parecchi punti singolari, in cui questi limiti non erano superati. Mi 

 spiegherò con un esempio. 



L'equazione: , ■ - -j 



• „, m y_|_ n _ 



(") y ' — by (% — e) 2 y + ( X — bf{x — cY y ~ [) 



dove m. n, b, c sono costanti si può -immaginare dedotta dalla: - 



Tfl 



^ V {x — b)(x^§)(x — c) (x — y) y + 



, . n ' 



y*~ {x — by (x — py (x —ly (x—cy(x— y y y 



facendo tendere i punti /5 ed l verso il punto b fino a sovrapporsi a esso, e 

 facendo quindi tendere il punto y verso il punto c fino a sovrapporsi a c. 

 E si osserva che, mentre la è della classe di Fuchs. la (a) non appar- 

 tiene alla classe delle equazioni Fuchsiane. 



In generale noi stabiliremo il seguente teorema: 



Per stabilire la sostituzione lineare che un sistema di integrali 

 della (1) subisce in un punto A singolare non di Fuchs dell'equazione, in 

 cui però le pi non hanno singolarità essenziali e sono monodrome, basterà, 

 nel modo precisato sostituire alla (1) un'altra equazione che in luogo 

 del punto singolare A abbia altri punti singolari B, B' ...di Fuchs, studiare 



per questa l'effetto di un giro attorno i punti B, B' e passare quindi 



al limite facendo coincidere i punti B, B' 



E se le pi non hanno singolarità essenziali, ossia sono razionali, si potrà 

 ripetere questo procedimento per (1) in tutti i punti singolari non di Fuchs 1 . 



Per dimostrare questo teorema, basterà chiaramente dimostrare il lemma 

 seguente : 

 Sia 



(2) «<*> -I -I y (n - 2) 4- . . . = ' 



y ' y ~ {x — a)^{x— b)^ y T (x— à)v> (x — b)** y ~ < 



■ p 



un'equazione lineare a derivate ordinarie; e siano li (x), £ 2 (#),.. . funi 



