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sioni razionali di x, regolari nei punii a, b e indipendenti da b. La sosti- 

 tuzione 2 fondamentale che un sistema di integrali subisce per un giro: C 

 chiuso, finito, non intrecciantesi attorno ai punti x = a , x =b e a nessun 

 altro punto singolare della (2) tende a un limite „ quando b tende ad a 

 e .precisamente alla sostituzione T fondamentale per V 'equazione 

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dovuta a un giro semplice, finito attorno il punto x = a e a nessun altro 

 punto singolare della (3). 



La dimostrazione di questo teorema si compie nel modo più semplice 

 per mezzo delle seguenti considerazioni: 



I) La sostituzione E dovuta al giro C si può anche immaginare come 

 dovuta a un giro attorno a tutti gli altri punti singolari eventuali della (2). 



II) Questa sostituzione si può immaginare come prodotto delle sosti- 

 tuzioni dovute ai cappi attorno a ciascuno degli altri punti singolari even- 

 tuali, supposti in numero finito. 



Ili) Basterà, per dimostrare il nostro teorema, far vedere che la sosti- 

 tuzione dovuta a uno di questi cappi relativa alla (2), diventa al limite una 

 sostituzione dovuta allo stesso cappio, relativa alla (3). 



Dimostriamo dunque quest'ultima asserzione. Per far questo ricorriamo 

 al metodo del prolungamento analitico, che immagineremo proprio eseguito 

 al modo di Weierstrass. 



Cioè immagineremo lungo il cappio distribuiti dei cerchietti r, in numero 

 finito, non includenti punti singolari della (3) in modo che due cerchietti 

 consecutivi abbiano ima parte comune. E di più li sceglieremo in modo che 

 mentre b si avvicina ad a, almeno da un certo punto in poi non includano 

 neppure punti singolari della (2). 



Pensiamo gli integrali come funzioni delle variabili x , b. E sia x = K 

 il centro di uno dei nostri cerchietti. Il punto x = K, b = a è un punto 

 di regolarità per i coefficienti della nostra equazione; quindi, per noti teoremi, 

 noi potremo segnare attorno ad a nel piano complesso di b un intorno r' 

 tale che per x variabile nel cerchietto di centro K e per b variabile in ri, 

 gli integrali siano olomorfi in x, e b. Anzi, poiché i cerchietti T sono in 

 numero finito, potremo costruire un intorno T- che valga per tutti questi 

 cerchietti. E allora si deduce senz'altro che poiché i coefficienti della sostitu- 

 zione si deducono dai valori dei detti integrali (a Wronskiano non nullo) e 

 delle loro derivate, essi saranno funzioni analitiche regolari di b nell'in- 

 torno r'. È perciò lecito il succitato passaggio al limite. 



Queste considerazioni, che per maggiore chiarezza abbiamo applicato ai 

 vari cappi, si potevano del resto anche applicare direttamente al giro C. 



