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infatti, per molteplici classi di serie di potenze di 2, il coefficiente, conside- 

 rato come funzione del suo indice x, ammette sviluppi in serie della forma 

 (1) (2). 



A questo proposito mi sia concesso di rilevare una notevole afferma- 

 zione fatta dal sig. E. Lindelof in una recente occasione (') : ed è che bene 

 spesso, più dell' ordine di grandezza dei coefficienti di una serie di potenze, 

 ha importanza, nello studio di tale serie, la forma sotto cui si presenta 

 questo coefficiente come funzione dell'indice. Il sig. Lindelof limita questa 

 osservazione alle serie rappresentanti funzioni intere, ma la portata di essa 

 mi sembra generale. 



In questa prima Nota mi fermerò sulla questione della convergenza 

 delle serie della forma (1) e (2), dandone la condizione con qualche mag- 

 giore precisione di quanto si faccia per solito e rilevando, da questa condi- 

 zione, un fatto che mi sembra non sia stato per anco avvertito nella sua 

 generalità, sebbene assai degno di considerazione. 



1. Si consideri una serie della forma 



•f c x(x-\-l)... (x + n— l) 



M=o n y(y-\- 1 )- {y + n — i) 



dove c , Ci , ... c n , •■■ è una successione qualsivoglia di numeri reali com- 

 plessi, ed x , y sono due variabili complesse. Si formi la successione 



log » 



e sia k il suo massimo limite ( 2 ); k è un numero reale finito od in- 

 finito. Indicando con R(#) la parte reale di a, escludendo per x ed y va- 

 lori interi negativi, e prendendo 



(5) u(x)<R(y)-k-l, 

 la serie (3) è assolutamente convergente. 



(') Comptes Rendus, T. CXXXHI, 30 décembre 1901. 



( 2 ) Intendo con ciò quel numero che il Cauchy chiamava la plus grande des limites. 

 Esso coincide col massimo dell'insieme derivato di (4), tranne il caso in cui i numeri 

 di (4) hanno un massimo m non appartenente all'insieme derivato il quale si presenti in- 

 finite volte nella successione stessa: in tale caso è questo numero m che va preso come 

 massimo limite. (V. Hadamard, la Sèrie de Taylor, Paris, C. Naud, 1901, pag. 15). 

 È da notare come la successione (4) si presenti (id., ibid., pag. 45) nello studio di una 

 serie di Taylor sulla sua circonferenza di convergenza. 



