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Infatti, verificata la (5), si potrà determinare un numero s positivo ab- 

 bastanza piccolo perchè sia anche 



(5') R(«0 < U(y) — k — 1 — «. 



Ora, da un valore dell' indice n in poi, segue, dall' essere k il massimo li- 

 mite di (4), che è 



\c n \ < W ft+S . 



Inoltre, dalla teoria della funzione r segue che 



lim 



«=30 



x(x -{-!)•■• {x-\-?i — 1) _ 1 



n ! w 3 '- 1 — r(x) ' 



onde risulta che, essendo m un numero positivo finito, si ha 



Ne viene 



x{x -f- 1) ... (x j- n — 1) 



2/Ù/-H)- (y + n — l) 



x(x -\- 1) ... {x -\- n — 1) 



' n y{y-\- 1) ••• (y + » — *) 



e poiché, per la (5'), 1' esponente di « è minore di — 1 , la serie (3) è as- 

 solutamente convergente. 



Prendendo invece 

 (6) B(*)>B(y)-A, 



la serie (3) è divergente. Infatti, per essere & il massimo limite di (4), 

 per infiniti valori di n si ha 



dove «' si è preso abbastanza piccolo perchè sia anche 



B(*)>B(y) — * + 



E poiché, essendo m' un numero positivo finito e non nullo, si ha, per la 

 formula citata della teoria della funzione r, che è per i detti valori di n: 



x(x -j- 1) ... (x -f- w — 1) 

 + !) - (P 1) 



dove l'esponente di w è positivo, ne viene che infiniti termini della (3) hanno 

 il modulo superiore ai numeri di un sistema crescente indefinitamente, e 

 quindi la serie stessa è divergente. 



