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2. Supposto fissato y, risulta dal teorema precedente che la serie (3) 

 è convergente assolutamente ed uniformemente rispetto ad x , a sinistra della 

 parallela all' asse immaginario condotta per il punto x = y — k — 1, ed è 

 divergente a destra della parallela condotta per il punto x = y — k. Fra 

 queste due parallele è compresa una striscia, che si può chiamare striscia 

 neutra; il teorema del numero precedente non c'insegna quale sia il com- 

 portamento della (3) per i valori della x compresi entro quella striscia. Ma 

 assoggettando i coefficienti c H a qualche altra condizione, anche se assai 

 poco restrittiva; p. es., supponendo che sia 



/p,\ c n +\ -• I k-\-ih . e n 



dove e„ va a zero con n = oo e k , h sono numeri reali, il primo dei quali, 



come è facile vedere, non differisce dal massimo limite di \°° ^ ° n ' : , si può 



ìogn 



dire qualche cosa di più circa al comportamento delle (3) quando x è preso 

 entro alla striscia neutra. Infatti, posto 



x(x -f- 1) ... {x-\-n — 1) 



viene 



%(y + l)... {y+n-iy 



u n +i . k-{-ih-\-x — y in 



u n n il 



e quindi, prendendo i moduli: 



j _j_ k-\-U(x — y) , a» 



■ n n ' 



dove s'„ , e' n ' vanno a zero per n = oo . Ne viene che se è 



R($ — y) + k<0, 



cioè se si prende x a sinistra della parallela all' asse immaginario condotta 

 per y — k, i termini della serie (3) vanno decrescendo in valore assoluto e 

 tendendo a zero. Ciò accade quindi anche nella striscia neutra, oltrecchè nel 

 campo di convergenza, permettendoci in conseguenza di dare facilmente condi- 

 zioni di convergenza valide in codesta striscia; soltanto, mentre nel campo 

 di convergenza definito da 



R(#) — %) < — k — 1 

 la convergenza è assoluta, nella striscia neutra la serie, se convergente, lo è 



