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solo semplicemente, come mostra l'applicazione del noto criterio di Raabe. 

 Ad esempio, ogni serie trigonometrica della forma 



in cui le c„ soddisfano alla condizione (7), è convergente semplicemente (*) 

 per ogni valore di x preso nella striscia neutra e per 6 diverso da un mul- 

 tiplo di 27t. 



La nota proposizione sulla serie binomiale 



2 + !)... (x-j-n — 1) ^ 



per |^| = 1 si deduce facilmente da quanto precede. 



3. Le considerazioni precedenti conducono a dividere le serie della 

 forma (3) in tre classi. 



Una prima classe è costituita da quelle serie per cui è 



lira 



lOg I Cn | 



log n 



00 



Esse sono assolutamente convergenti per tutte le coppie di valori di x e 

 di y. In particolare, appartengono alla detta classe tutte le serie (3) per le 

 quali la successione delle c„ è tale che 1c n f* converga in un cerchio di 

 raggio maggiore dell' unità. 



Alla seconda classe apparterranno quelle serie per le quali k ha un 

 valore finito. Per ogni valore y assegnato ad y, esiste per queste serie, nel 

 piano della variabile x, un campo di convergenza (assoluta), un campo di 

 divergenza, ed una striscia neutra in cui può accadere, in casi estesi, che 

 la serie converga semplicemente. Queste tre regioni sono rispettivamente 

 caratterizzate da 



R(x) < R(y) — k — 1, 

 R(^)>R(^) — k, 



— k — 1 < B(ar) < R(y) - k. 



Infine, formano la terza classe quelle serie per cui si ha k = -\- co . Esse 

 sono divergenti per tutti i valori di x e di y. Questo caso si presenta, in 



0) Per un noto teorema; v. p. es. «Picard, Traité d'Analyse, 2 me édition, T. I, 

 pag. 251. 



