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particolare, quando la successione c n è tale che la serie 2c n z n abbia un 

 raggio di convergenza inferiore ad uno. 

 4. Ad ogni successione data 



Co ì Ci j Ct , ... C n , ... 



si può fare corrispondere una serie di potenze 2c n x n , e ad ogni proprietà 

 della successione corrisponde una proprietà per la funzione analitica definita 

 dalla serie Fra queste proprietà, la prima e la più elementare riguarda 

 il cerchio in cui converge la serie di potenze; la sua determinazione è fon- 

 data sul più elementare dei criteri di convergenza, quello che considera il 

 massimo limite di Y\o„\. A tutte le successioni per le quali questo mas- 

 simo limite è il medesimo, corrispondono serie di potenze aventi il mede- 

 simo raggio di convergenza. Se ora alle potenze si sostituiscono fattoriali; 

 se, per es., nelle serie di potenze aventi l' unità come raggio di convergenza, 

 si sostituisce ad x ìl il fattoriale 



x(x — 1) ... (x — n -f- 1) 



n ! 



i campi di convergenza vengono a distinguersi; le serie di fattoriali conver- 

 gono in aree diverse, le quali vengono a dipendere da un criterio di convergenza 

 più discriminativo del precedente, cioè da quello fondato sulla considerazione 



del massimo limite di Ì££i£!l! . 



log n 



La sostituzione dei fattoriali alle potenze nelle serie 2c n s n produce 

 dunque, per così dire, una dilatazione nell'insieme di quelle che hanno uno 

 stesso cerchio di convergenza. Un'altra dilatazione si produce, per fatto di 

 quella sostituzione, nel limite fra la regione di convergenza e quella di diver- 

 genza; mentre infatti questo limite, nelle serie di potenze, è costituito sem- 

 plicemente dalla circonferenza di convergenza, esso si dilata, nelle serie di 

 fattoriali, in una striscia compresa fra due parallele all' asse immaginario, 

 quella che abbiamo chiamata striscia neutra. 



(•) È noto dai lavori di Borei, Le Roy ed altri, come anche alle serie di potenze 

 costantemente divergenti si possa fare corrispondere una funzione analitica determinata. 



