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Le Ui , Vi , Wi costituiranno una nuova terna integrale delle equazioni 

 d' equilibrio, la quale sul piano z = soddisferà alle condizioni 



(4) Ul = »!==() N, = , 



se chiamiamo 1^ , M] , N, le componenti delle forze che applicate sul piano 

 s = producono gli spostamenti u l ,Vi , iv t . 



Analogamente otterremo una nuova terna integrale ponendo 



(3') u 2 = u -j- u v z = v -\-v Wì = uo -J- w 



per la quale invece avremo sul piano s = 



(4') w 2 =-0 L 2 = M 2 = 



Data dunque una terna integrale qualsiasi, possiamo subito dedurne due 

 altre le quali soddisfano alle condizioni che, sul piano z = 0, sono nulle le 

 due componenti tangenziali dello spostamento e la componente normale della 

 pressione superficiale, o viceversa sono nulle le due componenti tangenziali 

 della pressione e la componente normale dello spostamento. 



Supponiamo che le u , v , w siano regolari in tutto lo spazio z >. , 

 all' infuori che in un punto (a , b , c), e siano omogenee di grado — 1 nelle 

 variabili x — a, y — b , z — c . La esistenza di tali integrali in generale 

 per le equazioni della elasticità è stata dimostrata in un lavoro recente (Ada 

 mathematica, 23, 1900) quantunque si presentino delle difficoltà ad ottenerne 

 espressioni semplici mediante i coefficienti delle equazioni d' equilibrio. Nel 

 caso della isotropia soddisfanno alle condizioni suddette gli spostamenti che 

 si ottengono prendendo per terna di funzioni generatrici due costanti e la 

 funzione 



r = )/(x — af TU— b f + (* — c f • 



Sono gli integrali che hanno per le equazioni dell' isotropia lo stesso 

 ufficio che il potenziale newtoniano elementare - ha per l' equazione di La- 

 place, e mi hanno servito altre volte per trovare le formolo che, per le 

 equazioni della elasticità, sono equivalenti a quella di Green. 



Per spostamenti di tal fatta le componenti delle pressioni interne risul- 

 teranno regolari in tutto lo spazio z ^ , eccetto che nel punto (a , b , e) 

 e saranno funzioni omogenee di grado — 2. Inoltre le funzioni u ,v ,w cor- 

 rispondenti avranno al pari delle u , v , w un solo punto di singolarità, ma 

 questo sarà nel punto x = a, y = b , s = — c , e quindi esterno dal campo 

 sjELO. Perciò anche gli spostamenti Ui,Vi,Wi e U2,v 2 ,w 2 definiti dalle 

 (3) (3') saranno omogenei di grado — 1, con un solo punto isolato di sin- 

 golarità in (a , b , c), e le pressioni ad essi corrispondenti saranno funzioni 

 omogenee di grado — 2. 



