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moniche, regolari per tutti i valori reali di y e positivi di \z\, e nulle per 

 |^| = co. Siccome non vi possono essere due fuzioni armoniche, che pren- 

 dono gli stessi valori per z = , si mantengono regolari in ogni altro punto, 

 e si annullano per |s| = oo, così dobbiamo concludere che si ha identica- 

 mente (e non soltanto per z = Q) 



■ ( 2™A*(F 2 -U 2 ) + f^ = 0, 



// nostro compito consiste dunque nell' integrare il sistema (completo, come 

 tosto si riconosce) (4), (5), (7) mediante funzioni F 2 , U 2 , V 2 di y , \z\ , 

 regolari per tutti i valori reali di y, positivi di \z\, e nulle per '\z\— oo . 



6. Calcolo di F 2 . — Moltiplichiamo la prima delle (7) per Zrznki, 

 deriviamo la seconda rispetto ad y e sommiamo. Verrà, tenendo conto della (5), 



rf! i (p, + logì) + A-»E,-^ = 0, 



dy 



od anche, siccome F 2 -\- log y è funzione armonica, 



Integrando rispetto a \z\ fra un valore generico e oo , risulta 



^- ^F 2 + log ^ — Ahi Ri F 2 = . 

 Facciamo, per brevità di scrittura, le posizioni 



(8) p = 2nnA , q = ^^ , B = A 2 wR = ^!. 



R q 



Le equazioni (5), (7) e quelle, cui siamo testé pervenuti, potranno es- 

 sere scritte: 



(5') ^ = pe(U 2 -F 2 ), 



"( F2 + 1 °^)-f(^-^) = °' 



(7') 



dy 



(9) §±-BiJ? 2 =-- 7r f- 

 d\z\ d\z\ 



