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Un integrale particolare della (9) è, come si verifica subito, 



r » d log - 



in cui 



(li) CJ*I — 



e si suppone B > 0. 



La funzione sotto il segno nel secondo membro della (10) è allora effet- 

 tivamente integrabile fra e oo (qualunque sieno i valori reali di y e di z). 



L' integrale F 2 risulta poi funzione armonica di y ,\s\, nulla per |^|= co , 

 regolare per tutti i valori reali di y e positivi di \s\, poicbè 



dì0 ^_ U 1 . 1 ) 



d\z\ 2\\z\ + d^i{y-l)^\z\ + d-i{y^-X)) 



gode di tali proprietà in tutto l' intervallo di integrazione. 

 La funzione cercata F 2 rimane definita dalla (10). 

 Infatti, in causa della (9), essa potrebbe differirne soltanto per un in- 

 tegrale armonico della equazione 



^_BzF 2 = 0, 



d\z\ 



nullo per |^| = co. Ma un tale integrale è identicamente nullo. 



Giova ancora osservare che, mediante una integrazione per parti, si può 

 attribuire all' espressione di F 2 la forma 



(10') F 2 + log^ = B f e- BX \og-dl. 



7. Caratteri analitici della funzione F 2 . — Per riconoscere la natura 

 della funzione definita dall'integrale (10), prendiamo le mosse dalla formula 



che è, si può dire, la definizione della funzione Li (logaritmo integrale) per 

 valori reali e positivi dell'argomento f. 

 Dalla formula di Eulero (') 



(ii) wh = c + log i + (- ir ^ 



(dove C è la nota costante 0,577 ... e pel logaritmo si intende fissata la 

 (*) Cfr. per es. Kronecker, Vorlesungen iiber Mathematik, B. I, pag. 213. 



