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surfaces » (pag. 155) propone il problema di cercare tutte le superficie il 

 cui elemento lineare è riducibile in diversi modi alla forma [A] , vale a 

 dire le superfìcie che ammettono più coppie di congruenze ortogonali iso- 

 terme di cerchi geodetici. Questa questione è analoga all' altra, proposta pur 

 essa dal Darboux e risoluta completamente dal Koenigs ('), relativa alle 

 superficie contenenti sistemi doppi ortogonali isotermi di ellissi ed iperbole 

 geodetiche, cioè alle superficie, il cui elemento lineare è riducibile alla forma 

 del Liouville 



[B] ds 2 = [U + V] [du* + dv^ . 



Il Kicci ha risoluto un problema intimamente legato a questo ( 2 ), il 

 problema della esistenza e della determinazione dei sistemi doppi isotermi 

 del Liouville su di una superficie di dato elemento lineare. Io, in questa e 

 in altra Nota cbe spero mi sarà concesso l' onore di presentare a questa 

 illustre Accademia, mi propongo di risolvere 1' analogo problema pel caso dei 

 cerchi geodetici; mi propongo cioè il problema seguente: Data una forma 

 differenziale quadratica positiva in due variabili 



1 ,2 



(p — y a rs dx r dx s , 



r , s 



riconoscere se sulle superficie di elemento lineare f <p esistano congruenze 

 isoterme di cerchi geodetici; e nel caso affermativo assegnare il sistema 

 di equazioni, da cui dipende la determinazione di tutte codeste congruenze. 



Io ritrovo il risultato già noto ( 3 ) che sulle superficie a curvatura totale 

 costante esistono oo 4 sistemi doppi ortogonali isotermi di cerchi geodetici e 

 assegno il sistema completo, dalla cui integrazione dipende la determinazione 

 di tutti codesti sistemi doppi di curve. Escluso codesto caso, dimostro che 

 una superficie non può ammettere più di oo 1 sistemi doppi della specie con- 

 siderata, e caratterizzo le superficie, che ne contengono un numero finito, in 

 quanto assegno il modo per riconoscere con un numero finito d' operazioni in 

 termini finiti se una superficie data goda di codesta proprietà, e per deter- 

 minare, in caso affermativo, i sistemi in parola. Formo poi esplicitamente 

 le condizioni sotto cui una data superficie contiene una semplice infinità di 

 quei sistemi e assegno il sistema completo, la cui integrazione, quando siano 

 soddisfatte siffatte condizioni, conduce alla determinazione di codesti sistemi 

 doppi ortogonali isotermi di cerchi geodetici. 



(') Mémoire sur les lignes géodésiques, Móni, des Savants Étrangers, t. XXXI, 1894. 



( 2 ) Sulla teoria delle linee geodetiche e dei sistemi isotermi di Liouville, Atti 

 dell'Ist. Veneto, t. LII, 1894. « Lezioni sulla teoria della superfìcie », Cap. VI, VII. 



( 3 ) Darboux, 1. c. ibidem. 



Rendiconti. 1902. Voi. XI. 1° Sem. 2G 



