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I metodi che io applico sono quelli del Calcolo differenziale assoluto 

 del RicciC), e anzi debbo notare esplicitamente che nei calcoli richiesti dal 

 presente problema io non ho avuto che da ripetere, leggermente modificati, i 

 procedimenti e gli artifici escogitati ed applicati dal Ricci pel suo caso. 

 L' identità di notazioni che, fino che mi è stato possibile, ho cercato di osser- 

 vare, renderà facile il riscontro. 



Noto, infine, che se immaginiamo riferito il dato elemento lineare alle 

 sue coordinate simmetriche 



ds 2 = l dx dy , 



il problema, che io qui risolvo, equivale al seguente: Data un'equazione 

 lineare alle derivate parziali del second' ordine e ad invarianti uguali 



ì 2 z , 



~òx ìy 



riconoscere se sia riducibile mediante una trasformazione x = X (x) , 

 y = Y (y) alla forma 



l> 2 z 



Tu' ty' [ f {x +y')-\-y(,x-y')J 



e nel caso affermativo assegnare il sistema di equazioni, che definisce le 

 funzioni X e Y , a ciò necessarie. 



1. Si consideri su di una superficie di elemento lineare dato ds = \/ <p 

 una qualsiasi coppia di congruenze ortogonali di curve. Se K è la curvatura 

 totale della superficie (cioè della forma quadratica y) e se indichiamo con 

 dsi , dsi gli elementi d' arco delle curve generiche delle due congruenze e 

 con y, (y) le corrispondenti curvature geodetiche, abbiamo per una notissima 

 formola del Liouville ( 2 ), 



d d 



dove — , — indicano le derivate (di direzione sulla varietà) secondo gli 



as\ U/S<z 



archi s t ed s 2 delle curve delle due congruenze. 



Se poi le due congruenze considerate appartengono ad un fascio isotermo, 

 è nullo queir invariante del fascio, che il Ricci chiama anisolermia di esso, 

 abbiamo cioè 



(') Per una esposizione riassuntiva completa di codesti metodi, cfr. Ricci et Levi- 

 Civita, Méthodes de calcul di/férentiel absolu et leurs applications, Math. Ann. Bd. LIV. 

 ( 2 ) Darboux, 1. e, III Partie, n. 643; Bianchi, 1. c. pag. 148, forra. (6*). 



