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Kisulta di qui che le coppie ortogonali di congruenze isoterme sulla data 

 varietà sono caratterizzate dal sistema (1) (2), al quale, ove ricorrendo allo 

 spediente ingegnoso del Kicci, si introducano due indeterminate a e /?, si 

 può sostituire il sistema equivalente 



(3) 



Se con l r (r = 1 , 2) indichiamo il sistema coordinato covariante a in- 

 variante algebrico uguale ad 1 delle curve di elemento lineare ds x , il pro- 

 blema di determinare i sistemi doppi ortogonali isotermi della data varietà, 

 coincide analiticamente con quello di ricercare le condizioni di integrabilità 

 del sistema (3), ove si considerino come incognite le %r, y, (y), a e /S ('), 

 e poi, verificate siffatte condizioni, di eseguirne effettivamente l'integrazione. 

 A raccogliere qualche contributo indiretto e modesto alla risoluzione di codesto 

 problema veramente arduo, si può prefissare a priori una determinazione par- 

 ticolare per una delle indeterminate § o a , e poi studiare l' esistenza ed, 

 eventualmente, la determinazione effettiva dei sistemi doppi ortogonali iso- 

 termi corrispondenti; cercare, cioè, le condizioni di integrabilità e la inte- 

 grazione del sistema (3), in cui si considerino incognite le l r , y, (y) e > 

 rispettivamente, a o /?. 



Sotto questa unica categoria di problemi si possono raccogliere tanto 

 quello risoluto dal Kicci corrispondente a /S = 3 y (y) , quanto quello, di cui 

 io qui mi occupo, il quale corrisponde a fi — , in quanto la condizione 



w IH 



esprime che le linee di elemento lineare ds x (e quindi anche le traiettorie 

 ortogonali) sono a curvatura geodetica costante. 



A risolvere uno qualsiasi di codesti problemi bisognerà cominciare col 

 rendere completo il sistema (3), aggiungendovi le equazioni che si ottengono 

 successivamente come condizioni di integrabilità di esso. Ora le due deriva- 



(') Naturalmente si devono considerare in sistema colle (3) le due equazioni che 

 definiscono le curvature geodetiche y e (y) per mezzo delle A r 



1,2 1,2 



y = X Aa<r> A,<!, li rt - (^) = _ L. Ai<r> AaCS> ^ irs • 



cfr. Eicci et Levi-Civita, 1. c. Chap. II, § 1, form. (7). 



