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d d 



zioni intrinseche — — , — — non sono commutabili fra loro, ma sono tali che 



dSi ds 2 



è identicamente (') 



d d d d d , , d 



ds 2 dsx dsi ds 2 ds Y ' ds 2 ' 



onde risultano pel sistema (3) le due condizioni di integrabilità 



\ ÌT + 2 f — f + «-»»--2(,)ft(. + K) + « 



(5) 



Se ora si supponesse prefissata una determinazione particolare per a, 

 si dedurrebbe di qui, come condizione di integrabilità rispetto a /?, la 



... d-a . d 2 a . d 2 K d 2 K . „ |~~ ' . da da ~ I , „ V~ . . dK . dK~\ . 



(6) ^T + 7/ s T + ^-^ +5 L (y) ^T~ y ^J +5 L (y) ^T + ^d + 



+ 4«[f + (y) 2 ] + 4K[(y) 2 - y 2 j-0, 



la quale, noteremo incidentalmente, assume una forma particolarmente sem- 

 plice per la determinazione a — K (o a— — K). Si verifica dalla (6), che 

 di sistemi doppi ortogonali isotermi soddisfacenti al sistema (3) in cui sia 

 a = K , esiste sulle superficie sviluppabili una quadrupla infinità ; come pure 

 si trova che, se su di una varietà esiste un tale sistema doppio, il suo 

 elemento lineare, riferito ad esso, assume la forma 



ds 2 = e v ^ [du* + cfo 2 ] , 



dove (f e xp sono funzioni arbitrarie della sola u; codesta forma di elemento 

 lineare comprende quello delle superficie spirali di Lie e Lévy 



Ma lasciando da parte codesto caso, che qui non ci interessa, supponiamo 

 invece che sia prefissato /? : allora la condizione di integrabilità delle (5) 

 rispetto ad a è data dalla 



( ) \_ds\ ds\ J + W*i 'L dsi_P* 



+ 3 [ (y) l|~ ) 'S _4 ' ?K + 8/?[) ' 2 + (y)2] = () ' 

 la quale andrà aggiunta al sistema (3) (5). 



(1) Ricci et Levi-Civita, 1. c. Chap. II, § 2. 



(2) Darboux, 1. c. IV Partie, Note VI, pag. 442. 



