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2. Prima di procedere alla ricerca particolare che io mi sono proposto, 

 mi sia permesso di osservare che le due determinazioni fi — 3 y (y) e /? = 0, 

 corrispondenti rispettivamente al caso dei sistemi isotermi del Liouville e 

 dei cerchi geodetici, sono casi particolari della determinazione fi = c y (y) , 

 dove c indica una costante arbitraria. 



Supponendo che su di una superficie esista un sistema doppio ortogonale 

 isotermo soddisfacente al sistema (3), sia 



ds* = X 2 (du 2 + dv 2 ) 



l' elemento lineare di essa, riferita a codesto sistema doppio come a sistema 

 coordinato. Si ha allora notoriamente 



Y 



d 



dsi 



onde risulta dalla 

 (8) 



che X deve soddisfare all' equazione 



l-»* + (._ a )2i2è_ -. 



Ma l' integrale generale di questa è, ove pongasi c = 1 -f~ ~ i 



A = [U + V]« 



dove U e V sono funzioni arbitrarie rispettivamente della sola u e della 

 sola v . Concludiamo che l' elemento lineare di una superficie su cui esista 

 una congruenza isoterma di curve, la cui curvatura geodetica rende soddisfatta 

 la (8), è caratterizzato dalla riducibilità alla forma 



[C] ds 2 =[U + YJ a [du 2 + do 2 2 , c = 1 + - 



che dà, naturalmente, per c = 3 1' elemento lineare del Liouville e per c = 

 quello delle superficie con un sistema doppio ortogonale isotermo di cerchi 

 geodetici. 



Per fi — c y (y) la condizione di integrabilità (7) diventa 

 , m d 2 K . d 2 K , . _ ,r, ,dK dK~] , . . a < A 



(9) ^+^+( 3 + 2tf l^-^7j +4c((? - 3)j ' (j ' )K==0 - 



Poiché essa è identicamente soddisfatta per K — , si ha che l' elemento 



X 2 ìv ' X 2 T>u 



12. 



X ~òu ' 



d 



ds 2 



1 2. 



