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Mathieu riferisce testualmente le accennate considerazioni di Laplace e 

 soggiunge: « le raisonnement de Laplace est vague et il indispensable de 

 le remplacer par un autre qui ait plus de précision » ; ma per quanto Mathieu 

 opportunamente invochi la funzione delle forze, non mi sembra che il suo 

 ragionamento presenti una precisione maggiore di quello di Laplace. 



Ritenendo che il tubo sia capillare, almeno nelle porzioni di esso ove 

 cadono le superficie libere delle possibili configurazioni di equilibrio, calco- 

 lerò, trascurando termini che sono dell'ordine del quadrato del raggio, le 

 variazioni che subisce il potenziale delle forze nel passaggio da una confi- 

 gurazione di equilibrio alla consecutiva, il che offrirà il mezzo di decidere 

 facilmente della stabilità o dell'instabilità delle anzidette configurazioni. 



Per fissare le idee supponiamo che il liquido sia sollevato nel tubo 

 capillare, ossia che l'angolo di raccordo q> fra la superfìcie libera in una 

 configurazione di equilibrio e la superficie interna del tubo sia ottuso. 



Prendiamo come asse delle z l'asse del tubo percorso in verso ascen- 

 dente e diciamo r la distanza dall'asse stesso di un punto qualunque della 

 superficie libera, che ora è di rotazione. Diciamo xp l'angolo che la normale 

 interna alla superficie libera fa col raggio che dall'asse va al suo piede; 

 ritenuto che il piano di quota zero sia il piano di livello, si ha ovviamente : 



questa è l'equazione differenziale della superficie libera. Moltiplicata questa 

 equazione per 2rdr ed integrata a partire da r = si ottiene : 



ove z a indica la quota del punto sull'asse di rotazione. 



Denotiamo : con q il raggio del parallelo secondo cui la superficie libera 

 del liquido incontra la superficie interna del tubo, ossia il raggio della cir- 

 conferenza di raccordo; e con i l'inclinazione sulla verticale della superficie 

 interna lungo la linea di raccordo, convenendo di assumere i positivo o nega- 

 tivo secondochè il tubo è verso l'alto convergente oppure divergente. 



Calcolando il volume U compreso fra il cilindro verticale che ha per 

 una base l'anzidetto parallelo, la superficie libera e il piano di livello, per 

 mezzo della (I) si trova subito: 



(1) 



^! JL A 



2 r dr 



(r cos ip) = 3 0); 



U = Znrzdr — — na 2 Q cos (y> -f- i) 



(') Si noti che secondo la notazione usata da Mathieu in questa equazione, invece 

 della costante di capillarità a 2 si dovrebbe scrivere 2a~. 



