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e ad esso vanno aggiunte le equazioni (5) (8) che in questo caso diventano: 



< u > |;=-^-2WCH« + K)+r'], |=f +2,[*(«-K)-W] 



(12) 



ds ì ds l ds x ds 2 \_ ' ds 2 rfsij 



Poiché quest' ultima per K = cost. è identicamente soddisfatta, il si- 

 stema (10) (11) è in tal caso completo: poiché tale sistema appartiene ma- 

 nifestamente alla nota classe di sistemi differenziali studiati dal Lie (') ri- 

 troviamo il risultato già ben conosciuto ( 2 ), che sulle superfìcie a curvatura 

 totale costante esistono oo 4 sistemi doppi ortogonali isotermi di cerchi geo- 

 detici; essi si determinano integrando il sistema completo (10) (11) [per 

 K = cost.] . 



Escluso il caso della superfìcie a curvatura totale costante, indichiamo 

 con (g) e g rispettivamente le curvature geodetiche delle linee K == cost. 

 e delle loro traiettorie ortogonali, e con ip V angolo delle linee di curvatura 

 geodetica y con quelle di curvatura geodetica g. Se allora poniamo: 



JK 



2 



dove J e J rappresentano i ben noti parametri differenziali del primo e del 

 secondo ordine rispettivamente, la (12) si può ridurre alla forma: 



2 y cos ip — 2 (y) sen ip = - - — sen 2 ip -j- 2 g cos 2 ip ; 



se poniamo h — (g) = 2v e introduciamo una nuova indeterminata /x, que- 

 st' ultima equazione è equivalente al sistema : 



(13) 2 y — (}x -\- v ) sen V ~f~ 9 cos *P ' ^ (y) = (/* — v) cos ip -j- # sen t/\ 



Ora ci rimane da stabilire sotto quali condizioni per la fi e la i/> le 

 espressioni precedenti di y e (y) rendano soddisfatte le (10), fra cui sia eli- 

 minata la a, che nelle (13) non compare più. vale a dire le (1), (2) e la (4). 

 Ma, se introduciamo il sistema coordinato covariante <p r (r = 1 , 2) del fascio 

 cui appartengono le congruenze y e (y) e il rispettivo sistema ortogonale ca- 

 nonico (p r , le (1), (2) sono rispettivamente equivalenti alle ( 3 ) : 



Z « CrS> <J>r S = K , J_ CL™ (f rs = . 



r,s r, s 



(>) Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abschnitt. Kap. 10. 



( 2 ) Darboux, 1. c. Ili Partie, n. 655. 



(3) Ricci et Levi-Civita, 1. e, chap. VI, § 1. 



