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Se indichiamo con — , -f— le derivate intrinseche secondo le curve 

 «<r 2 cto 1 



K = cost. e le loro traiettorie ortogonali, e designiamo con q l'anisotermia del 

 fascio definito dalle K = cosi, le due ultime equazioni, ove tengasi conto delle 



(12), dànno luogo a due equazioni indipendenti, lineari, rispetto a ~- e y~ , 



CIO i ClO 2 



che, risolute rispetto a codeste due derivate, dànno : 



elfi 

 da. 



[I] 



=.(f — ^) cos 2 V — t 2 sen 2 ^ + t i« (A + (.9)) 

 — (f — sen 2 V' — i 2 cos 2 v 



+ =£ + (»+«) 0-ÌlE 



A queste equazioni aggiungiamo la rispettiva condizione di integrabilità: 

 ^ 2 n q = A sen 2 1/' -j- B cos 2 «// 



m j W^*(»+W)^.B-_ t |L+«»+(,,) J - t *. 



L'equazione (4), ove si tenga conto della prima delle (13), diventa: 

 [ — 3 sen 2 if) + 2 # = A' sen 2 »/' + B' cos 2 ip 



CIII] i A ' =2 t- 2 è+ i[A+3fe)][ "- tó)] +* ! -^ B '=- 4 è- 2 *"- 



Infine dobbiamo tener conto del fatto che ip è l' angolo di due con- 

 gruenze, l'ima del fascio y r , l'altra del fascio della conguenza K = cost. ; 

 applicando una relazione nota fra ip e i sistemi coordinati covarianti dei due 

 fasci ( 2 ) e tenendo conto delle [I] troviamo il sistema : 



[IV] 



^r = — i ^ sen 2 ^ + i # 



la cui condizione di integrabilità è, come è ben naturale, conseguenza delle [I]. 



4. Da quanto precede risulta che affinchè la varietà data contenga si- 

 stemi doppi ortogonali isotermi di cerchi geodetici, è necessario e sufficiente 



( l ) Ricci, Lezioni ecc., pag. 163, form. (5). 

 Rendiconti. 1902, Voi. XI, 1° Sem. 



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