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che esistano due funzioni fi e ip, le quali soddisfacciano al sistema [I, II, 

 III, IV]. Se questo sistema ammette soluzioni, a ciascuna di esse corri- 

 sponde sulla varietà data un sistema doppio ortogonale isotermo di cerchi 

 geodetici, i cui sistemi coordinati covarianti si esprimono immediatamente 

 per mezzo dell'angolo xp e degli analoghi sistemi covarianti della congruenza 

 K = cost. e della congruenza ortogonale. 



Ci resta adunque soltanto da discutere quando l'indicato sistema am- 

 metta soluzioni. 



È manifesto che le equazioni II e III non possono essere soddisfatte 

 identicamente, vale a dire senza portare alcun legame fra fi e xp. Esse quindi 

 o sono distinte, o si riducono ad una sola. Nel primo caso esse definiscono fi 

 e xp, assegnando per codesta coppia di funzioni un numero finito di deter- 

 minazioni. Se qualcuna fra queste rende soddisfatte anche le equazioni diffe- 

 renziali I e IV, esiste corrispondentemente a ciascuna di esse, sulla varietà 

 data, una coppia di congruenze ortogonali isoterme di cerchi geodetici. Tra- 

 lasciando di sviluppare i complicatissimi calcoli che si richiederebbero a for- 

 mare esplicitamente le condizioni, sotto cui le funzioni fi e xp definite dalle 

 II e III rendono soddisfatte le I e IV, ci limiteremo ad osservare che il 

 caso è teoricamente caratterizzato, in quanto, riconosciuta l'indipendenza 

 delle II e III, si constata, mediante operazioni in numero ed in termini 

 finiti, se sulla data varietà esistano o no sistemi doppi di cerchi geodetici 

 (in numero finito), e in caso affermativo si determinano completamente. 



Se le II e III si riducono ad una sola equazione, si riconosce subito, 

 ponendo uguale a zero il determinante funzionale dei loro primi membri ri- 

 spetto a fi e xp, od anche mediante una semplice discussione diretta, che 

 deve verificarsi l' uno o l' altro dei seguenti sistemi di condizioni : 



a) A = B = ? = 

 oppure : 



b) A = B = A' = B' = 0. 



Nel caso a) la q = ci dice che sulla data varietà la congruenza di 

 curve K = cost. deve essere isoterma : le altre due equazioni dànno, come 

 risulta dalle espressioni di A e B, 



Ma sopratutto ci importa di notare che in tal caso, la II essendo una iden- 

 tità, rimane a considerare la sola III. 



Derivando questa secondo e, e <r 2 e tenendo conto delle I e IV otte- 

 niamo le due equazioni : 



