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l I^V 2 — 3^ + A')sen4 V + (C — 3 / u 2 (/i-H#)))sen2 (// + 



-f(D — 5/»V) cos2V— B>sen 2 2V + 0(A + (0)M + 2^ = O 



3^ 3 (1— 3sen 2 2i//)— ^B'sen4V + (C' + 2/ l 2 ^)sen2V + 



-f- (D' — j/j, 2 h — j/n 2 (#))cos2 tp A! fi cos 2 2xp — 



, D'=-l(A+3^))A'-^- 



Ora se le tre equazioni III, III' sono incompatibili, sulla data varietà 

 non vi sono sistemi doppi ortogonali isotermi di cerchi geodetici. Se sono 

 compatibili e si riducono a due soltanto, esse definiscono un numero finito 

 di determinazioni per la coppia di funzioni fx e xp e possiamo constatare 

 mediante un numero finito di operazioni in termini finiti se ad esse cor- 

 rispondano effettivamente sulla varietà data sistemi doppi della specie cer- 

 cata e in caso affermativo li possiamo effettivamente determinare. Se, infine, 

 le III, III' si riducono ad una sola equazione (la III), si riconosce, mediante 

 una discussione che richiede calcoli alquanto laboriosi ma di nessuna in- 

 trinseca difficoltà, che si ricade nel caso b). 



In questo caso le II, III si riducono alla /j = e perciò il sistema I 

 diventa : 



pcos2xp — q sen 2 xp = , p sen 2 xp -f- q cos 2 xp = , 



onde risulta, insieme con le b), p = q = 0. Anche in questo caso, dunque, 

 si tratta di superficie, su cui le curve K = cost. formano una congruenza 

 isoterma. L' angolo xp è in tal caso definito dal sistema, necessariamente 

 completo : 



la cui soluzione generale dipende da una costante arbitraria. Si hanno dunque 

 sulla varietà data oo 1 sistemi doppi ortogonali isotermi di cerchi geodetici. 



5. Concludendo la nostra ricerca, abbiamo che, se si prescinde dalle 

 superficie a curvatura totale costante, sulle quali esistono co 4 sistemi doppi 

 ortogonali isotermi di cerchi geodetici-, su di una superficie non possono 

 esistere più di oo 1 sistemi doppi si/fatti. Le superficie che contengono effet- 

 tivamente una semplice infinità di codesti sistemi sono caratterizzate dal 

 sistema di equazioni intrinseche: 



