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Se le due superfìcie S , Si hanno curvatura positiva, le loro linee as- 

 sintotiche, attuali o virtuali, sono immaginarie. Volendo anche in questo 

 caso enunciare il problema sotto forma reale, basterà parlare invece della 

 corrispondenza dei sistemi coniugati di S a quelli di S t . Allora, per qua- 

 lunque deformazione della S, vi ha uno ed un solo sistema attualmente 

 coniugato (sempre reale) che si conserva coniugato dopo la deformazione; 

 lo diremo perciò un sistema coniugato permanente. E potremo quindi enun- 

 ciare il problema sotto V altra forma : Irovare le coppie di superficie S , Si 

 che si corrispondono per sistemi coniugati, e tali di più che ad ogni 

 sistema coniugato permanente di S corrisponda un sistema coniugato per- 

 manente sopra Si . 



Avvi una soluzione ovvia del problema, che trascuriamo nel seguito. 

 Essa si ottiene associando ad una superficie qualunque S una sua omotetica Si . 



2. Per trattare analiticamente il problema enunciato, riferiamo le due 

 superficie supposte S , S t ad un sistema di coordinate curvilinee u , v , e siano 



(1) ds 2 = Fdu 2 -\-2Fdudv + Gdv 2 



(1*) dsì = E l du 2 +2F ì dudv-Ì-G l dv 2 



le rispettive espressioni dei quadrati dei loro elementi lineari. Ogni defor- 

 mazione della S è individuata ( l ) dalla relativa seconda forma quadratica 

 fondamentale 



D du 2 + 2D' du dv -f- D" dv 2 . 



La nostra ipotesi equivale a dire che deve esistere ogni volta una se- 

 conda forma fondamentale corrispondente per Si 



Didu 2 -f- 2D; du dv + Di' dv 2 , 



tale che sussistano le proporzioni 



D,:D;:D;' = D:D':D". 

 Pei calcoli seguenti conviene meglio sostituire a D , D' , D" le quantità 



D D' D" 



J — - — , A = — , J = 



j/EO _ ' j/EG - F 2 J/EG — F 2 



e analogamente a Di , DI , Di' : 



'(/E.G,— Ff y'EiGi — Fi j/E,G, — Fi 



(') Lezioni di Geometria differenziale, cap. IV. 



