Si sa allora (') che 4,4', 4" sono unicamente vincolate dalla equa- 

 zione di Gauss 



(2) JJ" — J' 2 = K, 



indicando con K la curvatura totale di S, e dalle due equazioni di Codazzi: 



(22) (12) (11) 



i simboli di Christoffel < ^ | ecc. essendo costruiti per la prima forma qua- 

 dratica fondamentale (1) di S. 

 Si ha per ipotesi 



J x = X/i , /l'i = X/i' , À'I = Xd" , 



dove X indica un conveniente fattore di proporzionalità. Intanto dalla corri- 

 spondente equazione di Gauss 



si trae per X 2 il valore 



(4) 



Questo fattore A serba dunque invariato il suo valore per qualunqne 

 deformazione simultanea di S , Si . 



Ora se scriviamo le equazioni (3) di Codazzi per la S e vi sottrag- 

 ghiamo ordinatamente le (3) stesse moltiplicate per X, ne deduciamo le due 

 equazioni di condizione 



(5) 



• PS 11 ! \ n ÌÌw-n 



Siccome X non cangia di valore, queste sono equazioni lineari omogenee 

 in J , J' , J" che debbono aver luogo, per ipotesi, in tutte le flessioni di S, 

 cioè per tutte le terne di valori di J , J' , 4" soddisfacenti alle (2), (3). 



(') Lezioni ecc., pag. 90-91. 



