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Segue di qui che le (5) debbono risolversi in identità (*), ciò che dà luogo 

 alle 6 equazioni di condizione: 



\ T>u \J 2 j (2 SiJ ' 7>y ( 2 



(6) i>u -li ì ìh' tì» - th riilJ 



Osserviamo che se si supponesse costante A, ossia costante il rapporto 

 delle due curvature, seguirebbe dalle (6) l' eguaglianza dei valori dei corri- 

 spondenti simboli di Christoffel per S , Si . Ma allora dalle forinole (II) a 

 pag. 51 delle Lezioni si deduce subito che saremmo nel caso ovvio escluso 

 di due superficie omotetiche. 



3. Paragonando fra loro le (6) delle due prime righe e aggiungendo le 

 forinole della terza riga, vediamo intanto che debbono essere soddisfatte le 

 quattro condizioni seguenti: 



(7) 



( W_oW-( n ì J 12 ) (22) (12)_(22) _ (12; 

 (1) U U)~\li (2^' (2) ^l.)~(2 j, ^1! 

 jll) (11 (22)_(22) 



Queste hanno un notevole significato geometrico, che si trova ricorrendo 

 alla equazione differenziale delle geodetiche sopra S, scritta sotto la forma a 

 pag. 150 delle Lezioni: 



(8) v"- 



hr + LÌ2j Vu + Lt2ì |i|J + !al 



Qui è supposta, lungo la geodetica, espressa v in funzione di u, e gli 

 accenti indicano derivazione rapporto a u. Le (7) esprimono che la (8) è la 

 stessa costruita per S o per Si , e per ciò alle geodetiche di S debbono cor- 

 rispondere le geodetiche di Si, o come diciamo per brevità: la rappresenta- 

 zione di S sopra Si deve essere una rappresentazione geodetica. 



Supponiamo ora inversamente che le superfìcie S, Sj si corrispondano 

 punto per punto in guisa che siano conservate le linee geodetiche, ed insieme 

 le linee assintotiche attuali, e dimostriamo che a qualunque sistema d' assin- 

 totiche virtuali sopra S corrisponderà ancora sopra Si un sistema della stessa 

 natura. 



(') Per la dimostrazione rigorosa v. il § 2 della mia Memoria: Sulla teoria delle 

 trasformazioni delle superficie a curvatura costante (Annali di Matematica, Serie 3*, 

 T. Ili, 1899). 



