Indichino infatti J , J'\ % i valori di J' , J" per la configura- 

 zione attuale di S. I calcoli del § 2 dimostrano che J , J' , J" , soddisfe- 

 ranno alle (5), avendo A 2 il valore (4). Ma poiché d' altra parte la rappre- 

 sentazione di S sopra S, è geodetica, sussisteranno le (7) e si avrà quindi 



~ò log X 



llU 



^log A 



1)V 



Indicando con A il valore comune delle due prime quantità, con B quello 

 delle due seconde, le equazioni (5) per J , , J' , J" si scrivono 



J B — J\ A = , — J\ B + J" A = 0. 



Ma siccome il determinante 



J J" -J'\ = K 



non è nullo, risulta di qui A = , B = 0, cioè sono soddisfatte tutte le (6) 

 e le superficie S , Si sono quindi coniugate in deformazione, c. d. d. 



Possiamo compendiare i risultati ottenuti nel teorema: Affinchè sopra 

 due superficie S , Si , che si corrispondono con conservazione delle linee 

 assintotiche attuali, si corrispondano altresì tutte le assintotiche virtuali, 

 è necessario e sufficiente che la rappresentazione di S sopra Sj conservi 

 le linee geodetiche. 



4. Colle considerazioni esposte sopra il problema enunciato viene ridotto 

 alla questione seguente : Trovare tutte le coppie di superficie S, S, che si 

 corrispondono con conservazione delle linee geodetiche e dei sistemi coniugati. 



E ben noto come il problema di trovare le coppie di superficie rappre- 

 sentabili geodeticamente l'una sull'altra (o meglio i loro ds 2 ) è stato riso- 

 luto dal Dini( 1 ). 



L' una e 1' altra superficie (escluso il caso ovvio dell' omotetia) debbono 

 appartenere alla classe di Liouville, e più precisamente i due sistemi orto- 

 gonali che si conservano nella rappresentazione sono costituiti da due sistemi 

 isotermi di ellissi e di iperbole geodetiche. Qui mi limiterò a trattare il 

 caso particolare in cui la prima e quindi anche la seconda superficie di Liou- 

 ville sia applicabile sopra una superficie di rotazione, ed il detto sistema 

 isotermo si riduca ai meridiani e paralleli. 



Si troverà così una classe effettiva di superficie di rotazione, dipendenti 

 da due costanti arbitrarie, che risolve il nostro problema. Esse possono iden- 



(*) Sopra un problema che si presenta nella teoria generale delle rappresentazioni 

 geografiche di una superficie sopra un'altra (Annali di matematica, t. Ili, 1869). Cf. 

 anche Darboux, Legons, III e Partie, pag. 47. 



12) 



- 2 m +2 



~ 2 1 



12) 



2 Si 



+ 2 1 



~Ò log A 



~ò log 1 



io 



ili + 



loiT 



( 1 



J22Ì 

 i 2 Si 



