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tificarsi con quadriche di rotazione (reali od immaginarie), ovvero colle evo- 

 lute delle superfìcie applicabili sulla sfera. 



Poniamo l' elemento lineare della prima superficie S sotto la forma 



(a) ds 2 = r 2 (du 2 -f - dv 2 ) , 



dove r è funzione della sola u. Risulta allora dalle citate ricerche del Dini 

 (V. § 5 della Memoria) che l' elemento lineare della S] , rappresentata geo- 

 deticamente sopra S, avrà la forma 



dsì= ri du *_L. rW . 



b{ar 2 -j- b) 2 ar 2 -\-b 



Delle due costanti arbitrarie a, b la seconda, limitandoci come inten- 

 diamo di fare a superfìcie ed a rappresentazioni reali, deve essere positiva. 

 Sostituendo alla Si una sua omotetica possiamo rendere b — 1, senza alte- 

 rare la generalità; così avremo: 



(«*) ds\ = ; — , du 2 + , dv 2 . 



(ar 2 -\-l) 2 1 ar 2 -\-l 



Si osservi ora in generale che per un ds 2 della forma 



ds = a 2 du 2 -j- /? 2 dy 2 



co?? a, § funzioni della sola u, i valori dei simboli di Christoffel sono i 

 seguenti : 



(9) 



gli accenti indicando derivazione rapporto ad u, I valori di a, p per la S sono 



a = § = r 



e per la Si 



fll) a 



(12) 





(22) 



l 1 j - a ' 



hi 



111 





(12) 





(22) 



(2 j 





(2) 



01 = 



ar'+l' j/«r 2 +l' 



Si verifica subito colle (9) che le condizioni (7) sono soddisfatte, ciò che 

 doveva essere perchè la rappresentazione di S sopra Si è geodetica. Se calco- 

 liamo poi le curvature K, K, , abbiamo 



aft \a / r 2 \r / 



_ K * («y = j-w +1) (q 



